Algebră liniară - modele de subiecte și discuții

Capitolul 1: Spa,tii vectoriale (liniare)

(1) Spa,tii vectoriale. Exemple algebrice. Reguli de calcul intr-un spa,tiu vectorial (par,tial cu

demonstra,tie).

(2) Combina,tie liniar 1/4 a ?nit 1/4 a. Sisteme de generatori ai unui spa,tiu vectorial. Familie de vectori

liniar independent 1/4 a / liniar dependent 1/4 a. Opera,tii cu familii de vectori. Propriet 1/4 a,ti (par,tial

cu demonstra,tie).

(3) Baz 1/4 a a unui spa,tiu vectorial ,si reper. Caracteriz 1/4 ari echivalente (familie liniar independent 1/4 a

maximal 1/4 a, sistem de generatori minimal). Coordonatele unui vector. Teoreme privind

existen,ta ,si utilizarea reperelor (par,tial cu demonstra,tie !).

(4) Spa,tii vectoriale de tip ?nit. Exemple. Dimensiunea unui spa,tiu vectorial. Lema de

completare.

(5) Teorema schimbului a lui Steinitz (inclusiv demonstra,tia !).

(6) Metoda pivotului (Gauss). Lema schimbului singular (inclusiv demonstra,tia).

(7) Reprezentarea unui vector intr-un reper. Matricea de trecere de la un reper la altul.

Modi?carea reprezent 1/4 arii unui vector la schimbarea reperelor (inclusiv demonstra,tia).

(8) Teorema rangului (inclusiv demonstra,tia). Criterii pentru determinarea naturii unui sistem

de vectori.

(9) Subspa,tiu vectorial. Suma ,si intersec,tia de subspa,tii. Propriet 1/4 a,ti (par,tial cu demonstra,tie).

(10) Acoperire liniar 1/4 a. Subspa,tiul vectorial generat de o mul,time. De?niri echivalente (par,tial

cu demonstra,tie).

(11) Teorema dimensiunii a lui Grassmann (inclusiv demonstra,tia !).

(12) Sum 1/4 a direct 1/4 a de subspa,tii vectoriale. Teorema de echivalen,t 1/4 a a sumei directe, cu demon-

stra,tie (inclusiv demonstra,tia !). Suplement direct al unui subspa,tiu vectorial.

(13) Rela,tia de echivalen,t 1/4 a asociat 1/4 a unui subspa,tiu vectorial. Consecin,te (par,tial cu demon-

stra,tie).

(14) Variet 1/4 a,ti liniare asociate unui sistem de ecua,tii liniare. Exempli?care.

Capitolul 2: Operatori liniari

(1) Operatori liniari. Exemple. Propriet 1/4 a,ti (par,tial cu demonstra,tie).

(2) Comportarea subspa,tiior vectoriale prin operatori liniari (inclusiv demonstra,tia). Nucleu.

Imagine.

(3) Rangul unui operator liniar ,si defectul s 1/4 au. Teorema dimensiunii privind operatorii liniari

(inclusiv demonstra,tia !). Consecin,te.

(4) Comportarea mul,timilor liniar independente ,si a sistemelor de generatori prin operatori

liniari (par,tial cu demonstra,tie).

(5) Teorema de prelungire prin liniaritate. Izomor?smul spa,tiilor vectoriale de tip ?nit de

aceea,si dimensiune (inclusiv demonstra,tia). Consecin,te.

(6) Teorema fundamental 1/4 a de izomor?sm.

(7) Reprezentarea matriceal 1/4 a a operatorilor liniari de?ni,ti pe spa,tii vectoriale de tip ?nit.

Modi?carea matricei unui operator liniar la schimbarea reperelor (inclusiv demonstra,tia !).

(8) Spa,tiul vectorial al operatorilor liniari. Compunearea a doi operatori liniari. Operator

invers (inclusiv demonstra,tii).

(9) Propriet 1/4 a,tile aplica,tiei de reprezentare a unui operator prin matrice asociate (Leg 1/4 atura

dintre opera,tiile cu operatori liniari ,si opera,tiile cu matricele corespunz 1/4 atoare lor, par,tial

cu demonstra,tie). Consecin,te.

(10) Valori proprii ai unui endomor?sm. Ecua,tia caracteristic 1/4 a a unui endomor?sm de?nit pe

spa,tii de dimensiune ?nit 1/4 a sau a unei matrice p 1/4 atratice. Invarian,ta polinomului caracter-

ictic la schimbarea bazelor (inclusiv demonstra,tia).

Liste subiecte examen (final, lucrari, restanta) toate variantele