Tehnici de optimizare

S1. Problematica optimizarii: definire, notiuni fundamentale, etape ale optimizarii.

Optimizarea se defineste in multiple moduri [DEX]:

- un rationament sau calcul care permite gasirea valorilor unuia sau mai multor variabile corespunzand maximului sau minimului unei functii;

- un ansamblu de lucrari de cercetare operationala care urmareste gasirea celei mai bune solutii pentru rezolvarea unei anumite probleme;

- alegerea si aplicarea solutiei (economice) optime (dintre mai multe posibile).

Optimizarea este clasificata ca o ramura:

matematicii aplicate (sau numerice)

cercetarii operationale

proiectarii sistemelor asistate de computer in functie orientarea accentului:

- pe aspectele teoretice (conditiile de existenta a solutiilor optime) sau

- pe aspectele practice (procedee de atingere a optimelor).

S2. Formularea unei probleme de optimizare (inclusiv explicarea notiunilor implicate)

O problema de optimizare se defineste prin tripletul format din:

necunoscuta numita variabila (sau variabila de decizie)

un obiectiv

multime de restrictii.

Functia obiectiv si restrictiile sunt functii de variabile.

Formularea matematica:

minimizeaza y = f(x) ,

respectand restrictiile:

Unde x?X,y?Y.

y se numeste functie obiectiv sau functie cost.

Functia obiectiv actioneaza ca un criteriu in raport cu care se face optimizarea.

x se numeste spatiu de cautare sau spatiul deciziilor sau spatiul variabilelor sau spatiul necunoscutelor.

S3. Caracterizarea problemelor de optimizare - sinteza

Diversele proprietati matematice specifice ale functiei obiectiv, ale variabilelor, ale restrictiilor si/sau ale relatiilor functiei obiectiv cu variabilele permit caracterizarea unei probleme de optimizare din multiple perspective, caracterizare care indica de cele mai multe ori abordarea adecvata a problemei in cauza.

Principalele perspective (unghiuri de caracterizare) ale problemelor de optimizare impreuna cu tipurile asociate de probleme sunt urmatoarele, cu precizarea ca o problema de optimizare poate fi (si de regula este) caracterizata simultan din mai multe unghiuri.

optimizare matematica / optimizare experimentala

optimizare statica / optimizare dinamica

optimizare parametrica / optimizare de functionale

optimizare fara restrictii / optimizare cu restrictii

programare discreta / programare continua

programare liniara / programare neliniara

programare in numere intregi, programare mixta

programare convexa / programare neconvexa

programare determinista / programare stochastica

optimizare uniobiectiv / optimizare multiobiectiv

S4. Optimizare statica / optimizare dinamica, programare determinista / programare stochastica

Optimizarea este statica (predictiva) daca optimul este invariant in timp sau stationar. Odata cunoscuta pozitia si valoarea optimului, cautarea se opreste. Daca valorile variabilelor care influenteaza obiectivul se modifica in timp si deplaseaza optimul, optimizarea este catalogata drept dinamica (reactiva). Scopul optimizarii dinamice este mentinerea unei conditii optime in ciuda conditiilor variabile ale mediului. Cautarea devine astfel un proces continuu.

Optimizarea dinamica are in vedere sistemele sau reprezentarile lor matematice in care se opereaza pe faze sau secvente. Se bazeaza pe teorema de optimalitate enuntata de Bellman. Daca starea la un anumit pas depinde numai de decizia la acel pas si de starea anterioara (deci nu

exista feedback) se poate aplica programarea dinamica.

Programare determinista /programare stochastica

Modelul de programare determinista este specificat in intregime, adica toate datele necesare sunt cunoscute a priori.

Problemele din lumea reala sunt insa adesea afectate de incertitudine, din cauza:

- indisponibilitatii datelor (din cauza ex., a costului prea mare al obtinerii datelor)

- erorilor de citire a datelor de intrare

- riscului prezent in dinamica fenomenelor

- erorilor de modelare a incertitudinii.

Programarea stocastica studiaza cazurile in care parametrii (in totalitate sau partial) sau restrictiile sau functia obiectiv depind de variabile aleatoare (Faber, 1970). Scopul este de a gasi politici fezabile pentru (aproape) toate instantele posibile de date si care mimizeaza media unei functii cu variabile de decizie si variabile aleatoare.

S5. Optimizare cu restrictii / optimizare fara restrictii,programare discreta / programare continua

Daca nu se impun nici un fel de restrictii asupra variabilelor, atunci optimizarea se numeste fara restrictii.

Optimizarea cu restrictii. Restrictiile pot fi de tip egalitate sau de tip inegalitate, definite pe domeniu finit sau infinit.

Programare discreta / programare continua

Programarea discreta trateaza problemele pentru care spatiul de cautare este finit sau numarabil. Cu alte cuvinte, solutiile admisibile sunt discrete sau pot fi reduse la solutii discrete. O variabila este discreta atunci cand este definita numai pentru anumite valori numerice, care nu sunt infinit vecine.

Daca multimea variabilelor este nenumarabila infinita, atunci optimizarea se numeste programare continua. In acest caz, optimizarea este de regula mai facila, deoarece putem folosi informatii din valorile functiei obiectiv si restrictii