Ingineria sistemelor de producție

3.5 Elemente de teoria asteptarii

(teoria firelor de asteptare ; teoria cozilor)

Elementele problemei fenomenului de asteptare :

Sursa : multimea unitatilor care solicita un serviciu la un moment dat.

Sosirea unitatilor în sistemul de asteptare determina o variabila

aleatoare X care reprezinta numarul de unitati care intra în

sistem în unitatea de timp.

Sistemul de asteptare, format din:

- Firul de asteptare : este determinat de numarul unitatilor care asteapta (finit sau infinit)

- Statia de serviciu : un lucrator , o masina , etc. care efectueaza serviciul solicitat. Timpul de servire al unei unitati in statia de serviciu este o variabila aleatoare Y

Indicatorii principali ai problemei de asteptare .

1) m - numarul de unitati ale populatiei din sursa care sosesc în

sistem care poate avea valorile: -  - sistem deschis

- finit – sistem închis

2) s - numarul de statii de serviciu ;

3) pn(t) -probabilitatea ca în sistemul de asteptare sa se gaseasca “n”

unitati la momentul “t” oarecare (pn) ;

4) n(t) - numarul de unitati ce se gasesc in sistemul de asteptare

(fir + serviciu) la momentul “t”; este o variabila

aleatoare cu distributia:

4’) - numarul mediu de unitati din sistem la un moment t

5) nf(t) - numarul de unitati din firul de asteptare la un moment dat “t”;

nf(t )este o variabila aleatoare,care,tinând cont ca exista unitati

în firul de asteptare atunci când n > s, are distributia:

5’) f(t) s - numarul mediu de unitati care se afla în fir;

6) ns(t) –numarul de unitati care sunt servite la un moment “t”:

ns(t) = n(t) - nf(t) ’ variabila aleatoare;

6’) (t) = (t) - (t) - numarul mediu de unitati care sunt servite la momentul “t” ;

7) P (n (t)> k) - probabilitatea ca numarul unitatilor din sistem la

momentul “t” sa fie mai mare decât k :

P (n(t)> k) = 1-P(n(t) k) = 1- (po + p1 + ... + pk )

8) - timpul mediu de asteptare al unei unitati în fir ;

9) - timpul mediu de asteptare al unei unitati în sistem .

3.5.1 Legile probabilistice ale sosirilor si servirilor

Fie X variabila aleatoare discreta ce reprezinta numarul de unitati sosite în unitatea de timp, într-un sistem de asteptare.

În conditiile :

a) posibilitatea sosirii unei unitati la un moment dat este costanta si nu depinde de ceea ce s-a întâmplat anterior ;

b) posibilitatea unei sosiri într-un interval de timp (t , t+”t) este propor-

tionala cu lungimea , ”t , a intervalului;

c) probabilitatea ca în intervalul de timp (t , ”t) , ”t foarte mic, sa avem mai mult de o sosire este aproximativ egala cu zero variabila aleatoare X , are repartitia Poisson , cu parametrul »t

unde :

Pn(t) - probabilitatea ca la momentul t, numarul de unitati sosite sa fie

n ;

»- numarul mediu de unitati sosite în unitatea de timp.