Infinitul

Limitele functiilor sunt o problema spinoasa pentru liceeni deoarece, la nivelul lor de perceptie, sunt definite si se rezolva folosind tot limite. Deci un cerc vicios din care foarte putin au capacitatea de a iesii.

Prin introducerea notiunii de ,,infinit mic" care anticipeaza notiunea de diferentiala studiata ulterior, cercul vicios dispare prin folosirea unui nou aparat de calcul al limitelor, neglijarea termenilor cu viteza de crestere mica.

Referatul familiarizeaza cititorul cu asa numita ,,problema a lui Achile cel iute de picior, care desi poate intrece in alergare o broasca testoasa nu o poate insa ajunge din urma.

Wikipedia, enciclopedia libera, defineste infinitul matematic astfel:

,,Cuvantul infinit provine de la lat. infinitas care inseamna "nemarginit". Se refera la mai multe concepte distincte, de obicei legate de ideea de "fara sfarsit" sau "mai mare decat cel mai mare lucru la care te poti gandi", care apar in filozofie, matematica, teologie, dar si in viata cotidiana. In matematica, infinitul este deseori folosit ca numar (de ex. el numara sau masoara lucruri). Infinitul este relevant in legatura cu limite matematice, si altele In mod neasteptat s-a putut dovedi ca, luate dupa bogatia lor de membri (cardinalitate), exista mai multe feluri de multimi infinite."

La ce se refera ,,feluri de multimi infinite" explicitate mai sus?

Infinitul se noteaza cu simbolul ? si, in cazul multimii (a numerelor naturale, considerata a fi cea mai putin potenta adica avand cele mai putine elemente) are cardinalitatea (numarul de elemente) , care se citeste alef-zero, (alef) fiind prima litera din alfabetul ebraic. este cel mai mare numar pe care ni-l putem imagina. Atentie! Multimea numerelor prime, a numerelor pare sau a numerelor divizibile prin 5, toate submultimi ale multimii au tot potenta , desi ar pare evident ca numarul de elemente este mai mic. Multimi teoretic mai potente (cu mai multi termeni) cum ar fi multimea (a numerelor intregi) care are in plus fata de multimea ramura negativa, are tot cardinalitatea

Numarul de puncte ale unei drepte este o multime mai potenta deoarece apare ca un infinit de infinite. Intr-adevar putem asterne pe o dreapta, fara suprapuneri, o infinitate de segmente mai mici sau mai mari avand fiecare in parte cate o infinitate de puncte. O multime de acest tip este numita matematic "de puterea continuului" si are cardinalitatea (C gotic) mai mare ca

O multime mai potenta decat poate fi de exemplu multimea tuturor functiilor care se pot defini pe o multime de potenta Aceasta potenta se noteaza cu (f gotic).

Cu definitiile de mai sus putem stabili relatiile:

- K* = Suma oricator multimi de aceeasi potenta nu schimba potenta.

- * = Produsul (functia de functie) a 2 multimi ridica potenta

Se pot astfel imagina o infinitate de multimi infinite din ce in ce mai potente.

Sa nu confundam cardinalitatea unei multimi cu limita spre care tinde ultimul ei element. Cardinalitatea reprezinta numarul de elemente ale multimii pe cand fiecare element in parte poate fi exprimat de o constanta sau functiune oarecare. De regula determinam valoarea spre care tind elementele unei multimi calculand limita pentru valori foarte mari ale variabilei. Nimeni nu poate afirma ca aceasta limita trebuie sa fie infinita. Ea poate fi si nula, determinata sau nedeterminata. In calculul limitei, in afara de operandul afectat variabilei, un definitoriu rol poate fi detinut de valoarea unor constante.

De exemplu:

Kx (K la puterea x) pentru un X foarte mare are 4 valori diferite, si anume:

Pentru K>1 Kx = ?

K=1 Kx = 1

K<1 Kx = 0

K<0 Kx = nedeterminare deoarece ia valoarea ? pentru x par respectiv -? pentru x impar

Valoarea 1 (unitatea) apare aici ca si valoarea 0 cu proprietati singulare.

Cu 0 suntem lamuriti. El desparte numerele pozitive de cele negative. Vom avea ocazia de a mai reveni asupra elementului 0 din multimi. Ce semnificatie poate avea insa unitatea?

Insasi expresiile larg folosite supraunitar respectiv subunitar dau o semnificatie aparte acestui punct. Aceste sintagme apar de obicei la fractii ordinare si exprima marimea numaratorului fata de numitor.

Toate fractiile care au numaratorul mai mare decat numitorul se plaseaza pe axa in dreapta unitatii pe cand cele cu numitor mai mare in stanga, ramanand in domeniul pozitiv.

In multimile a numerelor rationale si a numerelor reale putem crea cate 2 submultimi respectiv A care contine toate elementele mai mari decat 0 dar mai mici decat 1 si B care contine elementele mai mari decat 1

A si B au cardinalitati egale deoarece fiecare element din A are un element univoc in B egal cu inversul sau. Putem defini deci unitatea drept mijlocul multimii elementelor pozitive din

Sa reluam studierea elementul 0. El face parte din toate multimile amintite mai sus deci este numar natural desi are semnificatia multimii vide deci de ,,nimic"

Din constatarea ca unitatea este jumatatea unei multimi infinite rezulta ca ne putem apropia de 0 la fel cum ne putem apropia de infinit, adica fara a-l putea atinge. Daca la infinit aceasta afirmatie este de la sine de inteles, deoarece poate exista oricand un numar mai mare cuprins in notiunea de infinit, cu 0 nu pare atat de evident in aceea ca ar fi posibil un element mai mic si totusi mai mare ca 0.

Ne-am obisnuit cu 0 numar si putem cu greu sa admitem 0 drept limita unei multimi infinite.

Intre 0 si ? exista o relatie care este si totusi nu este biunivoca,

Prin definitie N/0 = ? in sensul ca ori ce numar divizat prin 0 rezulta infinit.

Reciproca este adevarata deci N/? = 0 in sensul ca ori ce numar divizat prin infinit rezulta 0

Dar 0*? nu trebuie sa rezulte N ci este un caz