Ecuații de recurență

Ecuatii de recurenta liniare , cu coeficienti constanti

Forma generala a unei ecuatii de recurenta liniare , cu coeficienti constanti , este :

Aici este un sir necunoscut , iar a , b , , c , d sunt constante reale date

( " constante " - adica nu depind de " n " ). Termenul liber " f(n) " este o functie data ,

f : N - R

Sirul va fi denumit si " proces dinamic " , intelegand prin aceasta valorile

unei caracteristici X , inregistrate la diferite momente de timp.

Aceste momente de timp sunt considerate a fi numere in progresie aritmetica , deci , pentru simplificarea descrierii , ele se asimileaza cu numerele naturale.

Numarul natural nenul " k " se numeste ordinul ecuatiei de recurenta : practic , ordinul unei ecuatii de recurenta este diferenta dintre cel mai mare si cel mai mic indice al caracteristicii X.

Exemplu : ecuatia de recurenta

are ordinul : ( n+3) - ( n - 4 ) = 7

Clasificarea ecuatiilor : - daca f(n) = 0 , , atunci ecuatia se

numeste ecuatie omogena :

- in caz contrar , avem de-aface cu o ecuatie neomogena

Determinarea solutiei generale a unei ecuatii omogene :

Pentru a se determina expresia caracteristicii X in functie de timp , se parcurg urmatoarele etape :

- 1: se scrie si se rezolva ecuatia caracteristica asociata ecuatiei de recurenta ;

aceasta ecuatie este :

- 2: la radacinile acestei ecuatii se asociaza functii , pe care le vom numi termeni

dupa urmatoarele reguli :

- 2.1 : pentru - radacina reala simpla a ecuatiei caracteristice , se asociaza

termenul ;

- 2.2 : pentru - radacina reala a ecuatiei caracteristice , multipla de ordin " p " , se asociaza termenii

;

- 2.3 : pentru - radacini complexe simple ale ecuatiei caracteristice , se asociaza termenii

unde - este modulul , iar - este argumentul radacinilor , anume :

- 2.4 : pentru - radacini complexe multiple de ordin " p "ale ecuatiei caracteristice , se asociaza termenii

- 3 : in final , se inmultesc termenii cu constante arbitrare si se aduna rezultatele :

se obtine astfel solutia generala a ecuatiei de recurenta date