Analiză Dimensională

I. ANALIZA DIMENSIONALA

1. Să se determine formulele dimensionale şi unităţile de măsură în Sistemul Internaţional (S.I.) pentru : viteză liniară, acceleraţie liniară, impuls, lucru mecanic şi putere.

Rezolvare

2. Să se determine prin analiză dimensională formula perioadei pentru :

a) un pendul matematic, dacă se ştie că aceasta depinde numai de lungimea acestuia şi de acceleraţia gravitaţională g ;

b) un pendul elastic, a cărui perioadă depinde de masa şi de constanta elastică k a resortului.

Rezolvare

a) Pentru un pendul matematic :

, unde C este o constantă adimensională.

Condiţia de omogenitate a formulelor fizice conduce la egalităţile (cu observaţia că în partea stângă a relaţiei nu există dimensiunea L) :

Atunci relaţia iniţială se poate rescrie, ţinându-se cont de valorile gradelor de omogenitate calculate :

(se ştie din liceu : C = 2)

b) Pentru pendulul elastic fomula perioadei trebuie să aibă forma :

Dimensiunea constantei elastice a resortului poate fi determinată din relaţia :

Deci :

, unde constanta are valoarea 2.

3. Experimental se constată că forţa de frecare care se opune la înaintarea unei sfere de raza r şi de viteză v într-un fluid având coeficientul de vâscozitate  este proporţională cu r,  şi v.

Stiind că  mai poate fi definit cu relaţia :

să se determine, prin analiza dimensională, expresia forţei de frecare F.

Rezolvare

Relaţia ajutătoare ne permite să apreciem dimensiunea coeficientului de vâscozitate :

Din datele iniţiale ale problemei se ştie că :

unde k este o constantă adimensională.

Rezultă (prin identificare) :

(expresia dată de Stokes precizează k = 6).

4. Lucrul mecanic efectuat de un gaz într-o destindere izobară depinde de presiunea p a gazului şi de variaţia sa de volum V. Să se determine expresia acestuia prin analiză dimensională.

Rezolvare

Prin identificare rezultă :

5. Dacă presiunea p a unui gaz ideal depinde numai de densitatea acestuia şi de viteza medie a moleculelor sale, să se determine prin analiză dimensională această dependenţă.