Arhitectura sistemelor de calcul - suport seminar

Seminarul 1. Raspunsul circuitelor analogice

Breviar teoretic

In cele ce urmeaza vom considera ca circuitul caruia vrem sa ii calculam

raspunsul este un sistem strict stabil, prin urmare functia sa de transfer H (s) nu prezinta

poli decat in semiplanul stang (nu si in semiplanul drept ori pe axa imaginara), daca

sistemul este analogic, sau H (z) nu prezinta poli decat in interiorul cercului unitate (nu

si in exteriorul acestuia ori pe cerc), daca sistemul este discret.

Vom nota cu:

h(t ) si h(n) functia pondere a sistemului (raspunsul la impuls al circuitului)

H (? ) si H (e j? ) functia de transfer a circuitului

H (s) si H ( z) functia de transfer a circuitului (deseori, pentru evitarea

confuziei cu marimea definita anterior, vom gasi aceasta marime numita functie de

sistem)

Intre cele trei marimi se scriu relatiile

H (? ) = F {h(t )} H (e j? ) = TFTD{h(n)}

H (s) = L {h(t )} H (z) = Z {h(t )}

Vom nota cu x(t) semnalul de intrare analogic si in continuare transformatele lui

Fourier si Laplace cu X (? ) si respectiv X (s) . In cazul unui semnal de intrare discret,

vom nota cu x(n) semnalul de intrare transformatele lui Fourier si Z cu X (e j? ) si

respectiv X ( z) .

1. Raspunsul circuitelor la semnale de joasa frecventa, aperiodice

1.1. Metoda Fourier

O vom folosi de fiecare data cand transformata Fourier a semnalului de intrare nu

contine distributii (cum este distributia Dirac). Mentionam ca metoda nu este exclusivista

din acest punct de vedere, insa in conditiile in care totusi transformata Fourier prezinta

distributii, este mai comod de utilizat metoda Laplace.

Pentru semnalul de iesire vom scrie

y (t ) = h(t )* x (t )<=>Y (? ) = H (? ) X (? )

y (n) = h(n)* x (n)<=>Y (e j? ) = H (e j? ) X (e j? )

iar semnalul de iesire se calculeaza dupa formula

y (t ) = F -1{H (? ) X (? )}

2

y (n) = TFTD-1{H (e j? ) X (e j? )}

Observatie

Un exemplu de semnal analogic a carui transformata Fourier prezinta distributii

este treapta unitate u (t ), pentru care U ( ) ( ) 1

j

? ?? ?

?

= + .

1.2. Metoda Laplace/Z

Este similara metodei Fourier si se bazeaza pe faptul ca

y (t ) = L -1{H (s) X (s)}

y (n) = Z -1{H (z) X (z)}

Pentru inversare, se pot folosi formulele clasice, de exemplu formula Heaviside.

( ) Rez{ ( ) st , }

k

k

y t =? X s e s

( ) Rez{ ( ) n 1, }

k

k

y m =? X z z - z

unde sk , respectiv zk reprezinta polii functiei X (s)est , respectiv X ( z) zn-1 , in care

reziduul se poate calcula in functie de ordinul de multiplicitate al polului, mk

2. Raspunsul circuitelor la semnale periodice

2.1. Metoda armonica

Orice semnal analogic periodic din realitate se poate scrie ca o suma de sinusoide,

in fapt o dezvoltare in serie Fourier (trigonometrica - SFT, armonica - SFA sau

exponentiala - SFE).