Teorema Fubini

Teorema (Fubini). Fie , , , f marginita si integrabila Riemann pe . Atunci

i) functiile

sunt integrabile Riemann pe A;

ii) ;

iii) exista M o multime neglijabila Lebesgue astfel încît .

Demonstratie. a) Vom demonstra ca integrala Darboux superioara a lui coincide cu integrala Darboux inferioara a lui

Fie , . Atunci . Avem

Analog se arata ca . Deoarece f este integrabila Riemann pe , pentru orice µ > 0, exista partitii Jordan , astfel încît . De aici rezulta ca

b) Din ultima egalitate de la a) se obtine ca

ceea ce, împreuna cu mai sus mentionata egalitate, încheie practic demonstratia punctelor i) si ii).

c) Punctul iii) rezulta din ii).

Observatie. Atît în enuntul teoremei de mai sus, cît si în enuntul corolarelor ei de mai jos, rolurile variabilelor x si y pot fi schimbate între ele.

Corolar 1. Fie A, B, f ca în ipoteza Teoremei Fubini. Presupunem în plus ca , cu alte cuvinte ca functia

este integrabila Riemann pe B pentru orice x din A. Atunci

Integrala din membrul drept al egalitatii de mai sus se numeste integrala iterata.

Corolar 2. Fie , , , f uniform continua pe . Atunci

Corolar 3. Fie , continua. Atunci

Corolar 4. Fie , continua.

Presupunem în plus f de forma Atunci

Corolar 5. Fie doua functii de clasa C1 cu proprietatea ca . Fie

si fie continua. Atunci M este masurabila Jordan si

Demonstratie

Functiile Æ si È fiind functii continue definite pe o multime compacta, sunt marginite. Fie . Fie , daca , daca . Atunci este integrabila pe M si pe , deci este integrabila pe . De asemenea

Prezentarea teoremei Fubini cu demonstratie, schimbarea de variabila si exemple