Teorema celor trei perpendiculare

In plan putem construi perpendiculara pe o dreapta cu ajutorul echerului, dar reprezentarile plane ale corpurilor geometrice nu pastreaza masura unghiurilor. Ca urmare, nu putem verifica daca doua drepte din spatiu sunt perpendiculare folosind echerul pe o reprezentare plana a lor.

Daca o dreapta este perpendiculara pe un plan si din piciorul ei ducem o perpendiculara pe o dreapta data din acel plan, atunci dreapta determinata de un punct al perpendicularei pe plan si de intersectia celor doua drepte din plan, este perpendiculara pe dreapta data din plan.

Deoarece AB (a si d (a, deducem ca AB (d. Cum d (BC, deducem ca d ( (ABC), deoarece d este perpendiculara pe doua drepte concurente din planul (ABC). Rezulta ca d (AC. Pentru calculul distantei de la un punct la o dreapta este indicat sa aplicam teorema celor trei perpendiculare. De cele mai multe ori calculele devin astfel mai simple.

Recciproca a unei teoreme este o propozitie obtinuta din teorema data prin schimbarea ipotezei (sau a unei parti a acesteia) cu concluzia. Reciprocele pot fi adevarate sau pot fi false.

Daca dintr-un punct exterior unui plan ducem perpendiculara pe plan si perpendiculara pe o dreapta din plan, atunci dreapta ce uneste picioarele celor doua perpendiculare este perpendiculara pe dreapta data din plan.

Demonstratie: Deoarece AB (a si d, deducem ca AB (d. Cum d (AC si d (AB rezulta ca d (ABC). Din definitia dreptei perpendiculare pe un plan, rezulta ca d (BC. A doua reciproca a teoremei celor trei perpendiculare Daca intr-un punct al unei drepte dintr-un plan se duc doua drepte perpendiculare pe ea, prima exterioara planului si a doua continuta in plan, atunci perpendiculara dintr-un punct al primei drepte pe cea de-a doua este perpendiculara pe plan.

Demonstratie: Deoarece d (AC si d (BC, rezulta ca d ( (ABC) deci d (AB ...