Subgrupuri libere

Fie (G, ) un grup si H o parte nevida a sa. H este subgrup al lui G daca:

1. H este parte stabila a lui G;

2. H inzestrata cu operatia indusa este grup.

Daca (G,*) este grup iar H o parte nevida a sa, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. H este subgrup al grupului (G,*);

2. ??x,y ? H???xy?? H si ??x ? H ? x-1 ? H;

3. ? x,y?? H?? xy -1 ? H.

Exemple:

GL2(R)={A?????R)| |A|?0}

(GL2(R), ?)- grupul general liniar de grad 2.

1. O(2)={A?GL2(R)|t A=A-1} este un subgrup al frupului GL2(R), numit grup ortogonal.

2. SO(2)={A??????????????este subgrup al grupuli GL2(R), numit grup ortogonal special/