Șirurile lui Fibonacci și Lucas

Aceasta se intampla deoarece aceste formulele verifica recurentele din definitia sirurilor Fn si Ln cat si conditiile initiale.

Legatura cu functiile hiperbolice ch si sh : Vom folosi urmatoarea notatie simpla dar rar utilizata, pe care am gasit-o in revista frantuzeasca A. P. M.

E. P, editia septembrie 1980 : In revista se noteaza de asemenea Cu aceste notatii se pot scrie urmatoarele identitati : In ultimele 2 formule se poate inlocui semnul + al lui y cu semnul - odata cu semnul lui m.

Formulele se pot verifica direct analizandu-le dupa paritatea sau imparitatea lui k, n, m.

Orice identitate cu functii hiperbolice care au un argument de forma kx+k y produce in baza substitutiilor din (R 0) una sau mai multe relatii in care intervin sirurile Fn si Ln . Aplicatia 1 : Consiseram identitatea Aplicatia 2 : Consiseram identitatile Analizand cele 4 cazuri care apar in functie de paritatile lui n si m obtinem din (R 0) relatiile : Pentru m=1 obtinem identitatile : Din identitatile si din substitutiile (R 0) deducem in mod asemanator relatiile: Aplicatia 3 : Adunand relatiile (R 2) cu (R 3) obtinem fara dificultate identitatile: Aplicatia 4 : Avem valorile F0=0, L0=2 si F-1=1, L -1= -1. Acestea se deduc folosind relatia de recurenta din definitia sirurilor si valorile lor initiale.

-punand in relatiile (R 4) m=1 si m= -1 obtinem identitatile: Aplicatia 5 : Consideram acum identitatile urmatoare Analizand substitutiile (R 0) dupa paritatile lui n si m obtinem patru expresii pentru Fn+mFn-m si pentru Ln+mLn-m; tinand cont de (R 1) putem condensa rezultatele in urmatoarele doua identitati : Prima este formula lui Catalan care a fost descoperita in 1886 iar a doua este o formula probabil noua. Aplicatia 6 : Punand in (R 5) m=1 si apoi m=2 vom gasi identitatile urmatoare : In prima din aceste ultime 4 formule recunoastem relatia lui Simson.

In concluzie invitam si cititorul sa gaseasca noi relatii intre sirurile lui Fibonacci si Catalan utilizand alte identitati intre functiile hiperbolice.

Nota : prezenta lucrare este elaborata pe baza articolelor aparute in revista frantuzeasca A. P. M.

E. P. in anul 1980. Prof. Velcsov Gheorghe Ioan ...