Polinoame Statistică Și Probabilități

Fie C multimea numerelor complexe. Vom considera F(N,C) multimea tuturor functiilor definite pe N={0,1,...,n,...} cu valori in C. O astfel de functie se numeste sir de numere complexe. Functia este definita daca stim cum actioneaza pe fiecare element din N, adica ce inseamna f(k) = ak, k 0. Am notat acest sir f prin (ak), k?0. Deci f = {a0,a1,...,an,...}. Egalitatea a doua siruri f = (ak), k?0, g = (bk), k?0 se noteaza f = g si are loc daca ak = bk,( ) k 0 (spunem ca doua siruri sunt egale daca ele coincid pe componente). Din aceasta multime de siruri F(N,C) ne intereseaza o submultime P, formata din aplicatiile pentru care termenii sirului (ak), k?0 sunt nuli cu exceptia unui numar finit dintre ei. Deci elementele lui P au forma: (a0,a1,...,an,0,0,...) notat (a0,a1,...,an,0 ), cu an ? 0, unde an (elementul de rang maxim nenul) se numeste coeficientul dominant, la care se adauga elementul (0,0,...,0,...).

Pe multimea P definim doua operatii algebrice:

1) Adunarea. +: P P P, care asociaza fiecarui cuplu (f, g) I P P elementul notat f + g I P, numit suma lui f cu g, unde daca f=(a0,a1,...,an,0 ), iar g=(b0,b1,...,bn,0 ), atunci f+g=(a0+b0,a1+b1,...) (spunem ca adunarea sirurilor din P se face pe componente). Este clar ca f +gIP, deoarece ak+bk=0,( ) k>max(n,m).

2) Inmultirea. o : P P P, care asociaza fiecarui cuplu (f,g)IP P elementul notat f o gIP, numit produsul lui f cu g, unde daca f = ( a0,a1,...,an,0 ), g = (b0,b1,...,bn,0 ), atunci f o g = (c0,c1,c2,...,ck,...), unde c0 = a0b0, c1 = a0b1+a1b0, ..., ck = a0bk+a1bk-1+...+ak-1b1+akb0, ... . sa observam ca si aici f o g P deoarece ck = 0,(") k>n+m (pentru k = n + m, ck = anbm)

1.1 Proprietatile adunarii in P

A1) Adunarea este asociativa, adica

(f + g) + h = f + (g + h), (") f,g,hIP

Rezulta imediat din definitia adunarii si a egalitatii a doua elemente din P precum si din asociativitatea adunarii pe C.

A2) Adunarea este comutativa, adica

f + g = g + f, (") f,gIP

Rezulta imediat din definitia adunarii si a egalitatii a doua elemente din P precum si din comutativitatea adunarii pe C.

A3) Elementul neutru pentru adunare este 0=(0,0,0,...,0,...) P si are proprietatea

f + 0 = 0 + f, (") fIP

A4) Orice fIP admite un element notat (-f) si numit opusul lui f pentru care

f + (-f) = (-f) + f = 0, (") fIP

Daca f = ( a0,a1,...,an,0 ), atunci -f = (-a0,-a1,...,-an,0 ).

Spunem ca P impreuna cu operatia de adunare si proprietatile A1-A4 formeaza un grup comutativ.

1.2 Proprietatile inmultirii in P

I1) Inmultirea este asociativa, adica

(f o g) o h = f o (g o h), (") f,g,hIP

I2) Inmultirea este comutativa, adica

f o g = g o f, (") f,gIP

I3) Elementul unitate pentru inmultire este 1 = (1,0 ) P si are proprietatea

f o 1 = 1 o f = f, (") f IP

Se spune ca P impreuna cu operatia de inmultire si proprietatile I1-I3 este un monoid comutativ.

Cele doua operatii introduse mai sus, adunarea si inmultirea, sunt legate intre ele prin proprietatea de distributivitate.

Distributivitatea: Inmultirea este distributiva in raport cu adunarea, adica

f o (g + h) = f o g + f o h, (") f,g,hIP

In concluzie multimea P inzestrata cu cele doua operatii avand proprietatile A1-A4, I1-I3 si distributivitatea inmultirii in raport cu adunarea se spune ca formeaza un inel comutativ unitar. Sa observam ca elementele de forma (a,0 ), a,bIC se aduna si se inmultesc in acelasi mod ca si elementele lui C,

(a,0 ) + (b,0 ) = (a+b,0 ),

(a,0 ) o (b,0 ) = (ab,0 ).

Acestea ne permit sa identificam astfel de siruri din P cu elementele corespunzatoare din C, adica (a,0 ) = a, (") aIC.

Desemnam elementul (0,1,0 ) = X si numim X nedeterminata pe C.

Utilizand operatia de inmultire din P rezulta

X = (0,1,0 ), X2 = (0,0,1,0,0 ), X3 = (0,0,0,1,0 ), Xn = (0,0,...,0,1,0 ).

De asemenea avem pentru a C: (0,0,...,0,a,0 ) = aXn = Xna.

Cu aceste observatii, un element f = (a0, a1, ..., an,0?) din P se scrie:

n

f = a0 + a1X2 + ...+ an Xn = ? akXk, unde am pus X0 = 1

K=0

Multimea P pe care am definit operatiile de adunare si inmultire se numeste multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi, iar un element f scris sub forma

n

f = a0 + a1X2 + ...+ an Xn = ? akXk, unde am pus X0 = 1

K=0

reprezinta forma algebrica a polinomului f de nedeterminata X.

Numerele a0, a1, ..., an I C se numesc coeficientii polinomului, iar termenii akXk, k = ii vom numi monoame ale polinomului f.