Noțiuni fundamentale ale teoriei probabilităților

1.1 Experienta. Proba. Eveniment

Orice disciplina foloseste pentru obiectul ei de studiu o serie de notiuni fundamentale. Se vor defini astfel, notiunile de experienta, proba si eveniment.

Prin experienta, se intelege realizarea practica a unui complex de conditii corespunzator unui criteriu dat de cercetare a colectivitatilor statistice omogene. Realizarea o singura data a experientei, se numeste proba.

EXEMPLU Se poate considera drept experienta, aruncarea unui zar perfect construit din punct de vedere geometric si omogen din punct de vedere fizic, caz in care, proba este reprezentata de aruncarea o singura data a zarului.

Prin intermediul exemplului de mai sus se poate identifica notiunea de colectivitate statistica prin multimea punctelor care apar pe fetele zarului.

Prin eveniment se intelege rezultatul unei probe. Evenimentele pot fi clasificate in trei mari categorii: evenimente sigure, evenimente imposibile si evenimente intamplatoare.

Prin eveniment sigur, se intelege evenimentul care se produce in mod obligatoriu la efectuarea unei probe a unei experiente. Evenimentul imposibil este acela care nu se produce la efectuarea nici unei probe. Se numeste eveniment intamplator (aleator) un eveniment care poate fie sa se produca, fie sa nu se produca la efectuarea unei singure probe.

EXEMPLE

Extragerea unei bile albe dintr-o urna care contine numai bile albe, este un eveniment sigur.

Evenimentele intamplatoare se supun unor legitati, numite legitati statistice. In acest sens, nu se poate prevedea daca intr-o singura aruncare a unui zar se obtine fata 1; daca insa se efectueaza un numar suficient de mare de aruncari se poate prevedea cu suficienta precizie numarul de aparitii ale acestei fete.

Evenimentele intamplatoare pot fi compatibile si incompatibile.

Doua evenimente se numesc incompatibile, daca realizarea unuia exclude realizarea celuilalt.

EXEMPLE

1. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia fetei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.

Evenimentele pot fi dependente sau independente.

Doua evenimente se numesc independente daca realizarea unuia nu influenteaza probabilitatea realizarii celuilalt si dependente in caz contrar.

EXEMPLE

1. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia fetei 2 la o alta aruncare a zarului, sunt independente.

2. Evenimentele: obtinerea unui numar de 7 puncte la aruncarea a doua zaruri si aparitia fetei 2 pe unul dintre doua zaruri, stiind ca acestea au suma punctelor de pe fetele de deasupra 7, sunt dependente.

1.2 Operatii cu evenimente

Notatiile folosite sunt cele cunoscute din teoria multimilor. Multimile vor fi evenimentele aleatoare si vor fi notate cu: A, B, C,

Fie evenimentul sigur si evenimentul imposibil. Acestea corespund multimii totale considerate si respectiv multimii vide.

DEFINITIE Se spune ca evenimentul A implica evenimentul B, daca realizarea lui A, atrage dupa sine realizarea lui B. Notatia folosita este:

OBSERVATII a) Implicatia evenimentelor este echivalenta cu incluziunea multimilor. (vezi fig. nr. 1)

b) Orice eveniment aleator, precum si evenimentul imposibil, implica evenimentul sigur:

,

DEFINITIE Se spune ca un eveniment este contrar evenimentului A, daca realizarea sa consta in nerealizarea lui A. Notatia folosita este

OBSERVATII a) Evenimentul contrar evenimentului A, este echivalent cu complementara lui A din teoria multimilor (vezi fig. nr. 2)

b) Evenimentele A si sunt contrarii, adica, daca se realizeaza A, atunci nu se realizeaza si reciproc.

DEFINITIE Reuniunea (sau adunarea) evenimentelor si este evenimentul S care consta in realizarea a cel putin unuia dintre evenimentele sau

Notatia este :

.

OBSERVATII a) Daca evenimentele sunt reprezentate prin cercurile si din fig. 3 si 4, reuniunea lor este reprezentata prin interiorul hasurat al celor doua cercuri. Prin urmare, faptul ca un punct al evenimentului S se gaseste in regiunile hasurate constituie evenimentul

In cazul prezentat in fig. nr. 4 evenimentele si sunt incompatibile, deoarece realizarea evenimentului exclude realizarea evenimentului si invers, pe cand evenimentele din fig. nr. 3 sunt compatibile, caci alegerea unui punct comun celor doua cercuri atrage dupa sine realizarea atat a evenimentului , cat si a evenimentului

ASE Bucuresti