Integrale Definite Sume Reimann

Numim suma Riemann atasata functiei f, diviziunii (si sistemului de puncte intermedi-are (I numarul notat: n ( ( (f, (i) = (f ( (i) * (xi-xi-1) i=1 INTEGRALE IN SENS RIEMANN Definitie: Se da f: [a, b] (R. Spunem ca functia f este integrabila in sens Riemann daca (if (R a.

i. ( (>0, ( ( (>0 cu proprietatea ca ( (o diviziune a intervalului [a, b] si (i) un sistem de puncte intermediare, (i ([xi-1, xi] cu || (||< (sa avem | (f, (i) if |< . if se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a, b] b notez: if = (f (x) *dx. a b Obs: 1) Numarul real if este unic; (f (x) *dx este unica.

a Demonstratie: P. p. a.

ca (i1 (i2 care verifica conditiile din definitie, atunci pentru (>0 ( (k, (>0 (k=1, 2) astfel incat pentru orice diviziune: (= (x0, x1, , xn) a lui [a, b] cu || (|| < (si orice puncte intermediare xi-1 (i (xi (1 (i (n) sa avem: | (f, () -ik|< (/2 (k=1, 2). Luand (= min (1, (2, () rezulta ca pentru orice diviziune (a lui [a, b] cu || (||< ( (si orice sistem ( (i) de puncte intermediare asociat lui (, avem: | (f, () -i1| < (/2 si | (f, () -i2| < (/2, deci: |i1 i2| < |i1 (f, () | + | (f, () -i2| < (/2+ (/2 = (. Cum (> 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1=i2; dar din ipoteza i1 (i2 (contradictie. Deci if este unic.

2) f: [a, b] (R f integrabila in sens Riemann pe [a, b] (f marginita pe [a, b] Demonstratie: f integrabila pe [a, b] (if (R a.

i. (o diviziune a lui [a, b] si ( (>0, (>0 pentru care || (||< (| (f, (i) if |< (i un sistem de puncte intemediare.

Arat ca f este marginita pe [xk-1, xk] (x, i (k Fie (i= (xi, i=k n n (f, (i) = (f ( (i) * (xi-xi-1) = (f (xi) * (xi-xi-1) + f (x) * (xk-xk-1) i=1 i=1 i (k | (f, (i) if | < ( (< (f, (i) if < (/+ if (+ if < (f, (i) < (+ if n (+ if < (f (xi) * (xi-xi-1) + f (x) * (xk-xk-1) < (+ if i=1 i (k 1/ (xk-xk-1) *[(+ if (f (xi) * (xi-xi-1)] < f (x) < 1/ (xk-xk-1) *[(+ if (f (xi) * (xi-xi-1)] M1 M2 M1< f (x) < M2 (f marginita pe [xk-1, xk] (k ({1, 2, , n} (f marginita pe [a, b] 3) f, g: [a, b] (R A ([a, b] A finita, cu proprietea: g integrabila pe [a, b] f (x) =g (x) (x ([a, b]A atunci: a) f integrabila pe [a, b] b b b) (g (x) *dx = (f (x) *dx a a Demonstratie: Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A={c}. Functia g fiind integrabila, este marginita, deci (M1 (0 astfel incat: |g (x) | (M1 (x ([a, b] Luand M = max (M1, |f (c) |) (f (x) (M si g (x) (M (x ([a, b]. g integrabila (> 0, (> 0 a.

i.: b | (g, (i) (g (x) *dx | < (/2 a (= (x0, x1, , xn), cu || (|| < (si (sistemul de puncte intermediare (i. Luand ( (= min (/ (8*M) ), avem (si 4*M* ...