Grup Ortogonal

In matematica, un grup este o structura algebrica ce consta dintr-o multime si o operatie care combina doua elemente ale multimii pentru a forma un al treilea element al aceleiasi multimi. Pentru a fi un grup, multimea si operatia trebuie sa satisfaca o serie de conditii, denumite axiomele grupurilor, si anume asociativitatea, elementul neutru si elementul simetric. Desi acestea sunt proprietati cunoscute ale multor structuri matematice, cum ar fi multimile de numere--de exemplu, multimea numerelor intregi impreuna cu operatia de adunare formeaza un grup--formularea axiomelor este detasata de natura concreta a grupului si de operatia respectiva. Aceasta permite manevrarea unor entitati de origini matematice diferite intr-o maniera flexibila, pastrand in acelasi timp aspecte structurale esentiale comune ale multor tipuri de obiecte. Omniprezenta grupurilor in numeroase domenii--atat matematice cat si din afara matematicii--face din ele un principiu central de organizare in matematica contemporana.[1][2]

Grupurile au proprietatea fundamentala de apropiere de notiunea de simetrie. Un grup de simetrie aduna caracteristicile de simetrie ale unui obiect geometric: el consta din multimea transformarilor care lasa obiectul neschimbat, si operatia de combinare a acestor transformari prin inlantuirea lor. Asemenea grupuri de simetrie, in particular grupurile Lie continue, joaca un rol important in mai multe discipline academice. Grupurile matriceale, de exemplu, pot fi folosite pentru a intelege legi fundamentale ale fizicii, in teoria relativitatii restranse, sau fenomene de simetrie in chimia moleculara.

Conceptul de grup a aparut din studiul ecuatiilor polinomiale, incepand cu Evariste Galois in anii 1830. Dupa contributiile venite din alte domenii, cum ar fi teoria numerelor si geometria, notiunea de grup s-a generalizat in preajma anilor 1870. Pentru a explora grupurile, matematicienii au dezvoltat diferite notatii pentru a descompune grupurile in parti componente mai mici si mai usor de inteles, cum ar fi subgrupurile sau grupurile simple. O teorie a grupurilor s-a dezvoltat pentru grupurile finite, care a culminat cu clasificarea grupurilor simple finite, incheiata in 1983.