Geometrie analitică

Fondatorii. Geometria analitica a fost creata in acelasi timp, de catre Rene Descartes si Pierre Fermat.

Se stia inca din Antichitate ca fiind data o curba, intre coordonatele punctelor ei exista o anume relatie, din care apoi, pe cale geometrica, erau deduse altele.

Descartes a inventat rolurile dintre geometrie si algebra, punand in primu plan, algebra; el a aratat ca invers, oricarei relatii intre coordonatele x, y, f (x, y) =0, ii corespunde o curba.

Incepand cu Geometria sa, din 1637, calculul literal a luat forma moderna p care o are si astazi. La Francois Viete, calculul literal avea tot o baza geometrica; pentru el, formulele sunt diferite, doarece a si b sunt masuri ale segmentelor deci egalitatile exprima strict relatii dintre arii. Incepand cu Descartes literele nu mai reprezinta lungimi de segmente, ci numerele irationale. Ideea era trasata de Diofant, dar s-a impus in matematici.

Descartes pleaca in cartea sa, de la problema lui Papus: Fie date patru drepte in plan si se cere sa se gaseasca multimea punctelor M astfel ca intre distantele lor di la dreptele dt (i=1, 2, 3, 4), sa avem relatia d1d2=kd3d4. Descartes noteaza cu x, y coordonatele punctului M si exprima prin consideratii sintetice distantele, observand ca toate sunt lineare in x, y.

Deci dimensiunea produsului este datade numarul dreptelor care intervin. In cazul a cate doua drepte in fiecare parte a egalitatii, avem o acuzatie de gradul al doilea in x, y deci luindu-l pe x arbitrar fixat, il putem construi pe y cu rigla si compasul. In cazul a cinci drepte avem acelasi rezultat, deoarece o necunoscuta fie x intra cel mult la gradul al treilea si a doua, fie y, la gradul al doilea.

Fixandu-l pe x, putem sa-l construim pe y.

In cazul dreptelor paralele, o necunoscuta dispare si ramane cealalta necunoscuta la gradul al treilea si rezolvarea necesita si o conica, adica este o problema solida, dupa terminologia timpului, numele de problema plana fiind atribuit acelora a caror constructie era realizabila cu rigla si compasul, adica necesitau numai drepte si cercuri. In cazul a cinci drepte paralele sau in cazul a 6, 7, 8, 9 drepte, o relatie de forma duce la o ecuatie cel mult de gradul al cincilea. Pentru gradul al treilea sau al patrulea, fixand o coordonata o determinam oe cealalta prin intersectia a doua conice.

Pentru gradul al cincilea putem sa aranjam astfel ca una din necunoscute, de exemplu y, sa intervina cel mult la gradulal patrulea si pentru cel mult cinci drepte avem o problema plana; pentru 6, 7, 8, 9 drepte avem o problema solida. Clasificarea continua mai departe.

Descartes recomandastudierea si a problemelor care nu sunt plane; ca aplicatie da o generare mecanica simpla a curbelor de ecuatie polara r=a sec?, r=a sec4 , care generalizeaza campila lui Eudoxiu si exprima ideea findamentala ca pentru orice curba avem o relatie intre coordonate, aceeasi pentru toate punctele ei iar gradul relatiei este independent de alegerea ...