Aplicații ale Teoremei lui Fermat

Titlul poate naste intrebarea: Care teorema Fermat? O persoana avizata discerne intre Mica teorema Fermat, Marea Teorema Fermat (prezumtia demonstrata de Wiles abia in 1998) si "simpla" Teorema a lui Fermat referitoare la functii derivabile.

Se cunoaste ca matematicianul francez Pierre de Fermat(1601-1665) este fondatorul (alaturi de Descartes) al geometriei analitice, are contributii esentiale in dezvoltarea teoriei numerelor (vezi Mica Teorema a lui Fermat, Marea Teorema a lui Fermat ), in dezvoltarea calculului probabilitatilor si a calculului diferential si a enuntat primul principiu optim al fizicii ( principiul lui Fermat)- care se reduce in fond la o problema de minim.Cine poate separa derivata de problemele fizice si tehnice?

In acelasi timp, cine poate reduce derivata doar la interpretarea ei mecanica, uitand ca forta acestui concept sta in universalitatea lui si ca atare in modul abstract de prezentare?

Tinand cont de faptul ca teorema lui Fermat, la care face referire prezentul material , constituie primul prilej de a dovedi forta derivatelor ca instrument de lucru (chiar daca ofera numai un criteriu necesar de extrem) iar ca aplicare imediata , serveste tocmai la demonstrarea teoremelor mult mai celebre,Rolle, Lagrange, am considerat ca "Cenusareasa" ar merita putin mai multa atentie.

Scopul acestui referat este deci, de a sublinia unele aspecte metodice referitoare la predarea-invatarea notiunii generale de extrem local- global al unei functii reale (nu neaparat derivabile) si a teoremei lui Fermat, si de a prezenta tipuri de probleme a caror rezolvare se bazeaza pe aplicarea directa a teoremei lui Fermat .

Pentru studiul functiilor reale prin utilizarea derivatelor, la clasa, este fundamental sa reamintim interpretarea geometrica a derivatei punctuale, subliniind diversele situatii posibile( tangenta paralela cu Ox, puncte unghiulare, puncte de intoarcere, etc.)

Consider ca teoremele de baza asupra functiilor derivabile trebuie mai intai ilustrate grafic, in dialog cu elevii.Ele exprima fapte calitative, proprietati observabile in cursul trasarii geometrice a graficelor unor functii ce pot fi construite din functii elementare anterior studiate, in consecinta aceste teoreme nu cred ca trebuie , intr-o prima faza, demonstrate la clasa.Se pare ca este mult mai instructiva analiza enuntului, verificarea necesitatii fiecarei conditii din enunt si aplicarea efectiva a teoremei in cauza.In functie de nivelul clasei, se poate reveni ulterior la prezentarea demonstratiei.Sa nu uitam ca Teoremele Rolle, Lagrange, au fost enuntate- deci descoperite-cu mult timp inainte de a fi demonstrate.De altfel, Fermat a studiat indeaproape extremele "functiilor"(1638) cand inca termenul de functie - datorat lui Leibniz-Newton- Euler(intre anii1700-1755)- nu aparuse inca! El considera ca "functie", o curba sau un arc de curba.

Este interesant si faptul ca, istoriceste vorbind, insasi derivabilitatea a aparut si a fost studiata inaintea continuitatii. Asadar, in predare, ordinea in care sunt prezentate astazi conceptele fundamentale in analiza matematica, este diferita de cea istorica, extrem de sinuoasa.Aceasta discordanta arata de ce sunt necesare o permanenta regandire si reasezare a conceptelor, un efort metodic pentru gasirea celor mai bune modalitati de a corela traditia istorica si prezentarea noului.

Cateva observatii metodice privind notiunile teoretice implicate

Spre deosebire de celelalte teoreme ale calculului diferential , Rolle , Lagrange, Cauchy, Darboux, teorema lui Fermat are un caracter local , vizand comportarea functiei in vecinatatea unui punct fixat, care sa fie punct de extrem local(relativ).

Definirea generala a notiunii de punct de extrem local ca si cea de extrem global (absolut) presupune sublinierea, la clasa, a unor aspecte relevante (insotite de exemplificari adecvate):

- o functie poate avea mai multe puncte de extrem;

-o functie poate avea puncte de maxim fara a avea puncte de minim sau invers;

- o functie poate sa nu admita extreme locale;

- valorile extreme locale sunt prin definitie finite, si sunt atinse de f in punctele de extrem;

- valoarea intr-un maxim local al unei functii poate fi mai mica decat valoarea intr-un minim local

- restrictiile unei functii reale la diverse submultimi ale domeniului maximal, pot prezenta diverse situatii in privinta punctelor de extrem.

DEFINITIE:

Fixam o functie ? : A->R (A R). Un punct x0 A se numeste punct de maxim relativ (respectiv de minim relativ) al lui ? daca exista o vecinatate U a punctului x0 astfel incat pentru orice x U A sa avem

(respectiv ).

In acest caz valoarea ?(x0) se numeste un maxim (respectiv un minim) relativ al lui ?.

Punctele de maxim sau de minim relativ se mai numesc puncte de extrem relativ. Daca inegalitatile din definitie sunt stricte se spune ca x0 este un punct de extrem strict. Valorile functiei in punctele ei de extrem relativ se mai numesc extremele relative ale functiei.

Observatii.

1) Functia considerata trebuie sa fie neaparat cu valori reale.

2) Trebuie tinut cont de faptul ca o functie poate sa aiba mai multe puncte de maxim si de minim relativ, iar un minim sa fie mai mare decat un maxim, ceea ce justifica faptul ca punctele de maxim si de minim sunt ,,relative" (fig. 3, c).Valorile calculate

1) Burtea M.,Burtea G.,Matematica-manual pentru cls. a XI-a, Ed.Carminis, Pitesti , 2001

2) Colectia G.M., 1974-1995

3) Colectia revistei "Arhimede", Ed.Paralela 45, Pitesti, 2002-2004

4) Schneider Gh.A., Culegere de probleme de analiza matamatica, Ed.Hyperion, Craiova, 1998

5) Siretchi Gh., Analiza matematica, vol.I, Tipografia Universitatii Bucuresti,1978

6) Vernescu A., Analiza matematica, vol.II, Ed. Pantheon, Bucuresti,1995