Pendulul simplu

Un punct material de masa m, suspendat de un fir inextensibil, fixat intr-un punct o si de lungime l ( fig.1 ) care se poate misca fara frecare pe suprafata unei sfere de raza l, se numeste "pendul matematic" sau pendul simplu.

Sa determinam ecuatia de miscare a pendulului simplu, adica pozitiile successive pe care la ia pendulul in timp ( luind ca parametru unghiul ?, ecuatia de miscare va fi de forma ?=o(t) )

fig.1

Pentru acesta ne alegem un sistem de coordonate, astfel in planul de coordonate ZOX sa fie vertical si sa treaca prin OMN, iar miscarea sa fie continuata in acest plan, adica sa se produca

pe o circumferita plana ( conditia este satisfacuta daca in momentul t = 0, prin lovire ce imprima punctului material de masa m viteaza v0 orizontala, continuta in planul vertical ce trece prin OMN ).

Descompunem forta de gravitatie mg in doua componente (fig.1 ):

-una dupa tangenta la traiectoria dt datorita careia miscarea pe circumferinta v1

-una dupa normala Gn, care este compensata de tensiunea firului

Daca alegem sensul pozitiv do ln M ln N si notam lungimea firului MN cu n, putem spune ca:

si cum avem (1)

Intr-un interval de timp dt, unghiul descris da si arcul do

Vom avea: si

sau ( 2)

Pentru oscilatiile de mica amplitudine ( sub 4 grade ) se poate aproxima sin ? = ? si ecuatia (2) devine: ( 3 )

care este ecuatia de miscare, diferentiala, a pendulului matematic.

Notind , obtinem

ecuatie care are solutia ? si ? ( 4' )

in care ? amplitudinea oscilatiei si ? faza initiala a oscilatiei. Perioada de oscilatie a pendulului este: adica (4)

Din relatia ( 4 ) se vede ca perioada de oscilatie a pendulului simplu nu depinde de amplitudinea oscilatiei. Deci oscilatiile pendulului simplu sint izocrone ( in baza aproximatiei

sin ? = ? ). Determinarea perioadei de oscilatie a pendulului simplu nu depinde din ce substanta este facut pendulul, ( in relatia ( 4 ) nu intervine nici ? si nici m)).

Perioada de oscilatie a pendulului este proportionala cu radacina patrata a lungimii pendulului si invers proportionala cu radacina patrata a accelelatiei gravitationale. In lucrarea de fata se verifica experimental delatia ( 4 ) cu concluziile ce decurg din ea. In cazul cind amplitudinea oscilatiei depaseste 4 grade nu mai putem aproxima sin ? = ? si relatia ( 4 ) ia forma: