Aplicații ale Transformatei Laplace și Fourier în Tehnica

În cele ce urmează, ne vom limita la o enumerare concisǎ a principalelor rezultate, necesare pentru abordarea problemelor aplicative .

Prin funcţie original, se înţelege o funcţie care satisface proprietăţile :

(i) f(t) = 0 , ;

(ii) f şi derivatele sale admit pe orice interval, mărginit, un număr finit de discontinuităţi de prima speţǎ .

(iii) existǎ constantele M 0, , astfel încât , .

Vom nota cu mulţimea funcţiilor original. Un exemplu de funcţie original îl constituie “funcţia unitate”, definitǎ prin

Se verificǎ uşor cǎ pentru funcţie , ce verificǎ doar proprietăţile (i) şi (ii) se poate considera funcţia , care este o funcţie original. Pentru tot ce va urma, vom conveni şi scriem doar f în locul produsului (în ipoteza cǎ f satisface proprietăţile (ii) şi (iii)).Se demonstrează cǎ suma şi produsul a douǎ funcţii original sînt de asemenea funcţii original. Fie mulţimea funcţiilor de variabilǎ complexǎ cu valori complexe. Numim operator Laplace (sau transformare Laplace ), aplicaţia: L: , definitǎ prin:

( f)(p) = F(p) = .

Funcţia F = f se numeşte imaginea prin transformata lui Laplace a funcţiei f. Se demonstrează cǎ imaginea F este definitǎ In semiplanul Rep s, . Mai mult, imaginea F este olomorfǎ în acest semiplan şi derivata sa este:

.

Din definiţia operatorului lui Laplace, rezultǎ cǎ acest operator este liniar. Folosind definiţia şi proprietăţile operatorului L, se deduc imaginile:

L[ ] = , ,

Utilizând teoremele pe care le enunţǎm mai jos, se pot obţine şi alte imagini. Amintim cǎ într-o formǎ concisǎ teoremele fundamentale :

1. (teorema asemănării)

2. (teorema întârzierii)

3. (teorema deplasării)

4. (teorema derivării imaginii)

5. , cunoscutǎ sub denumirea de “teorema derivării originalului ”, în ipoteza cǎ derivatele existǎ şi cǎ sînt funcţii original.

6. (în ipoteza cǎ este convergentǎ )(teorema integrării originalului