Operații cu polinoame

Fie C(N) multimea sirurilor (infinite) de numere complexe

f=(a0,a1,a2,………,an,…),

care au numai un numãr finit de termeni aI , nenuli, adica exista un numar natural m astfel incat aI = 0 pentru orice I > m .

Definim pe multimea C(N) douã operatii algebrice: adunarea si inmultirea.

Fie f=(a0,a1,a2,…), g=(b0,b1,b2,…) douã elemente din multimea C(N) atunci definim:

f+g=(a0+b0,a1+b1,a2+b2,...) si (1)

fg=(c0,c1,c2,...), (2)

unde

c0=a0b0,

c1=a0b1+a1b0,

c2=a0b2+a1b1+a2b0,

ar=a0br+a1br-1+a2br-2+...+arb0= aibr-i= aibj

Elementul f+g=(a0+b0,a1+b1,....) se numeste suma dintre f si g iar operatia prin care oricaror elemente f si g din multimea C(N) se asociaza suma lor , se numeste adunare.

Elementul fg=(c0,c1,c2,....) se numeste produsul dintre f si g,iar operatia prin care elementelor f si g din multimea C(N) se asociaza produsul lor,se numeste inmultire.

Exemplu:Daca f=(-1,2,3,-5,0,0,..) si g=(1,0,-1,0,...), atunci suma lor este f+g=(0,2,2,-5,0,0,...), iar produsul lor este fg=(-1,2,4,-7,-3,5,0....).

Definitie:Fiecare element al multimiiC(N),pe care sunt definite cele douã operatii (1) si (2) se numeste polinom.Daca f=(a0,a1,a2,...) este un polinom, numerele a0,a1,a2,... sa numesc coeficientii lui f.

Proprietatile adunarii poliniamelor

1. Adunarea este comutativa,adica oricare ar fi f si g, din C(N) , avem:f+g=g+f

2. Adunarea este asociativa,adica oricare ar fi ,g si h din C(N),avem:

(f+g)+h=f+(g+h).

3.Element neutru.Polinomul constant 0=(0,0,0,...) este element neutru pentru adunarea polinoamelor, in sensul ca oricare ar fi f T C(N), avem:

f+0=0+f=f

4.Orice polinom are un opus,adica oricare ar fi f T C(N) exista un polinom, notat cu –f ,astfel incat:

f+(-f)=(-f)+f=0

Proprietatile inmultirii polinoamelor

1.Inmultirea este comutativa, adica oricare ar fi f si g din C(N), avem:

fg=gf

2.Inmultirea este asociativa,adica oricare ar fi f,g si h din C(N), avem:

(fg)h=f(gh)

3.Element neutru.Polinomul 1=(1,0,0,...) este element neutru pentru inmultire ,adica oricare ar fi f T C(N) ,avem:

f*1=1*f=f

4.Inmultirea este distributiva fata de adunare,adica oricare ar fi polinoamele f,g,h T C(N), au loc relatiile:

f(g+h)=fg+gh

(f+g)h=fh+gh

5.Dacã si g sunt polinoame nenule, atunci produsullor este un polinom nenul(f`g si g`0’fg`0).

6.Simplificarea cu un factor nenul.Dacã f,g,h, sunt polinoame astfel incât fg=fh si f`0 ,aunci g=h.

Gradul unui polinom

f=a0+a1x+a2x2+...+anxn.

Definitie:Se numeste gradul lui f, notat prin grad f , cel mai mare numar natural n astfel incat an`0. In acest caz an se numeste termenul liber al polinomului f.

Ezemple:

1) Polinomul f= 1-x are gradul 1 , adica grad f=1.

2) Polinomul f=x+x3+x5 are gradul 5, adica grad f=5.

3) Polinomul constant f=a unde a T C, a`0 are gradul 0, deci grad f=0.

Pentru polinomul nul,0, gradul sau se considera ca fiindegal cu -(se citeste minus infinit).