Principal Component Analysis pentru Imagini Grayscale

De regula, bazele de date folosite in experimentele de recunoastere a fetelor contin imagini de dimensiune foarte mare. O astfel de "risipa" de resurse, valabila de altfel si in cazul semnalelor vocale sau al altor imagini naturale, conduce la o robustete semnificativa, care permite receptarea corecta a informatiei transmise, chiar in conditiile in care aceasta este afecatata de zgomot, este distorsionata sau incompleta. Pe de alta parte, dimensiunile mari complica semnificativ implementarea practica a diverselor tehnici de procesare, cresc volumul de calcul si, in plus, necesita existenta unui numar sporit de imagini in baza de date cu care se opereaza (daca imaginile originale sunt vazute ca puncte intr-un spatiu multidimensional, cu cat dimensiunea spatiului este mai mare, cu atat mai multe puncte sunt necesare pentru a asigura o "acoperire" mai buna a intregului spatiu, in vederea asigurarii unei aproximari adecvate a densitatii reale de repartitie a tuturor punctelor reprezentand imagini valide de fete umane). In acest context, se dovedesc utile tehnicile de compresie, folosite pentru a reduce dimensiunea datelor originale, in conditiile unor pierderi de informatie (inevitabile) cat mai mici.

Tehnicile de compresie uzuale apartin de regula uneia din urmatoarele 3 categorii:

a) codare (liniar) predictiva

b) calcul de transformate liniare

c) cuantizare vectoriala

In cele ce urmeaza vom introduce una dintre cele mai cunoscute metode de compresie apartinand celei de a doua clase, denumita Analiza pe Componente Principale (Principal Component Analysis - PCA) sau transformata Karhunen-Loeve. Astfel, sa consideram ca avem la dispozitie N vectori xn apartinand unui spatiu vectorial de dimensiune D carora li se asociaza, prin intermediul unei transformate liniare descrise de matricea [W]MxN, un set de vectori de dimensiune mai mica M < D, conform relatiei:

(1)

In spatiul original, vectorul xn poate fi scris sub forma unei combinatii liniare a elementelor unei baze ortonormate {ui, i = 1...D} sub forma:

(2)

in care coeficientii wi,n se calculeaza cu relatia:

(3)

Sa presupunem ca dorim sa retinem din descompunerea (2) numai un set redus de M termeni, iar restul coeficientilor wi,n sa fie inlocuiti cu valori constante:

(4)

Ideea fundamentala a metodei PCA este de a gasi baza particulara care asigura minimizarea erorii patratice medii dintre cele 2 seturi de vectori:

(5)