Aproximarea numerică a funcțiilor

Introducere

Problema aproximarii valorilor unor functii intervine in cele mai diverse situatii din domeniul tehnicii, in general, si cel al energeticii, in particular. Exemplele uzuale se refera la curbele caracteristice care descriu functionarea masinilor electrice, a celor termice sau hidraulce a aparatelor si a echipamentelor electrice, la prognoza consumuliu de energie electrica sau termica.

In formularea cea mai generala a problemei aproximarii numerice a functiilor, se considera o functie reala . Se cere sa se determine o alta functie g(x) avand o expresie relativ simpla, care sa aproximeze cat mai bine functia f(x) in intervalul considerat (pentru ) .

Problema enuntata se pune in diferite situatii. Una din situatii este caracteristica pentru aplicatiile din domeniile energeticii, cele n+1 puncte distincte cunoscute fiind definite de perechile de valori din relatia:

(x0,y0); (x1,y1);...; (xn,yn) adica : (xi,yi) , yi=f(xi), i=0,1,2...n.

In cazul cel mai general, cele n+1 puncte distincte pot fi oarecare in intervalul [a,b] . In majoritatea aplicatiilor ele sunt echidistante, cu pasul de discretizare h, primul si ultimul punct corespunzand limitelor intervalului [a,b], adica x0=a si xn=b.

xi+1-xi=h , i=0,1,2,...,n-1

In situatiile practice nu este necesara determinarea explicita a expresiei functiei de aproximare g(x), fiind suficienta doar gasirea valorilor acestuia pentru . Daca valorile lui x pentru care se aproximeaza functia f(x) apartine intervalului [a,b], atunci se utilizeaza termenul de ,,interpolare", iar daca problema se extinde si in afara utilizam termenul de ,,extrapolare".

Pentru obtinerea functiilor de aproximare g(x) se folosesc combinatii lineare de functiide forma simpla, preluata dintr-o clasa de functii {gi(x)} de forma:

unde ai, i=0,1,...,n , sunt coeficienti reali.

Aproximarea prin interpolare polinomiala

Problema aproximarii numerice a functiilor se poate reduce la determinarea polinomului Pn(x) de gradul n, de forma:

g(x)=Pn(x)=a0+a1?x+a2?x2+...+an?xn care sa ,,treaca" prin punctele date, adica sa satisfaca conditia: Pn(xi)=yi , unde i=0,1,2,...,n-1.

Nu este neaparat necesara determinarea explicita a polinomului. Se pot utiliza alte forme echivalente, care sa permita calculul simplu al valorilor lui Pn(x) pentru orice x din intervalul [a,b].

Scriind conditia: Pn(xi)=yi rezultand sistemul:

rezulta un sistem liniar de ordinul n, cu determinantul principal de tip Vandermonde:

care are valoare nenula in ipoteza ca punctele xi , i=0,1,2...,n sunt distincte. In consecinta sistemul are o singura solutie, adica polinomul de aproximare prin interpolare Pn(x) este univoc definit. Metodele concrete de interpolare se diferentiaza intre ele prin modul de determinare a acestui polinom unic sau a unei forme echivalente ale sale.

Algoritmul matematic

Plinoame de interpolare Newton de prima speta

Polinomul de interpolare de tip Newton de speta intai este de forma:

Pn(x)=a0+a1?(x-x0)1+a2?(x-x0)2+...+an?(x-x0)n

In cazul general, punctele nefiind echidistante, se noteaza cu h=(xn-x0 )/n .

Puterea generalizat din expresia polinomului se aduce la forma:

(x-x0)k=( x-x0)( x-x1)( x-x2)...( x-xk-1)

Coeficientii polinomului vor fi de forma:

, unde k=0,1,2...,n si

( )

Expresia polinomului devine:

Codul sursa Matlab

function aprox(x,y,vx)

if x(2)-x(1)~=x(3)-x(2)

disp('punctele nu sunt echidistante')

n=length(y);

for i=1:n

d(i,1)=y(i);

end

k=n;

for j=2:n

for i=1:k-1

d(i,j)=d(i+1,j-1)-d(i,j-1);

end

k=k-1;

end

for i=1:n

d(1,i);

end

h=(x(n)-x(1))/n;

m=length(vx);

for j=1:m

f=h;

p=vx(j)-x(1);

t=y(1);

for i=1:n-1

t=t+(p/f)*d(1,i+1);

f=f*(i+1)*h;

p=p*(vx(j)-x(i+1));

end

vy(j)=t;

Un caz particular dar foarte des utilizat este cazul punctelor echidistante unde h=xi-xi-1 si q reprezinta ,,numarul de pasi" necesri pentru a ajunge de la x0 la x.