CURS 1
Elemente de teoria aproximarii
1.1. Introducere Se poate intampla ca diverse fenomene din jurul nostru
care se cerceteaza cu ajutorul metodelor matematice sa fie caracterizate prin
functii de una sau mai multe variabile reale, insa pentru care nu exista
posibilitatea determinarii lor complete ci doar a aflarii valorilor pe anumite
valori particulare ale argumentelor. Cunoscand aceste valori se doreste
adesea sa se aproximeze fie valorile functiilor respective pe alte noi puncte
din domeniul lor de definitie, fie anumite caracteristici numerice cum ar fi:
valorile pe puncte date ale derivatelor de anumite ordine sau integralelor pe
anumite domenii.
Probleme de modelare matematica proceselor mecanice si a situaNiilor
economice nu pot fi rezolvate fara aplicarea metodelor de calcul numeric.
Un specialist modern trebuie sa cunoasca bine metode de baza ale
matematicii aplicate din care face parte si analiza numerica . Practic, orice
teorie inginereasca fara un suport matematic solid nu are nici o valoare
stiinNifica.
Ca regula , un inginer opereaza cu datele numerice, care trebuie sa fie
prelucrate intr-un anumit mod pentru calculul si proiectarea dispozitivelor
tehnice.
EcuaNiile matematice din domeniul mecanic, ca regula, conNin derivate
si integrale,iar cele din domeniu financiar modern utilizeaza, de exemplu,
teoria ecuaNiilor diferenNiale stohastice, care nu pot fi rezolvate direct in mod
analitic, ci numai prin metode aproximative cu care opereaza analiza
numerica.
Astfel, metodele numerice de calcul sunt metode aproximative, iar
disciplina aparNine domeniului matematicii aplicate.
Metodele numerice isi propun gasirea unor solutii aproximative eficiente la
probleme diverse ce pot fi exprimate prin modele matematice, eficienta data
in primul rand de precizia ceruta (eroare) dar si de usurinta implementarii.
Prin urmare metodele numerice trebuiesc alese tinand cont de convergenta,
stabilitate, propagarea erorilor si de analiza complexitatii algoritmului
asociat.
Prin algoritm vom intelege un set de instructiuni care specifica succesiunea
de operatii ce urmeaza sa fie aplicate asupra datelor pentru rezolvarea
efectiva a problemelor de un anumit tip.
Stabilitatea- in sensul ca variatii "mici" in datele numerice-care de obicei
sunt afectate de erori- sa aiba ca efect variatii de asemenea "mici" ale
solutiilor aproximative.
Convergenta- intr-un anumit sens, a sirului de aproximatii successive, la
care suntem condusi pe baza unei relatii, la solutia exacta a problemei.
In metodele de aproximare se pune si problema vitezei convergentei. O
convergenta prea lenta reprezinta un neajuns serios al unei metode de
aproximare.
O atentie speciala se impune a fi acordata procedeelor de aproximare care
conduc la solutii optimale, in sensul ca abaterea intr-o anumita norma a
solutiei aproximative de la solutia exacta sa fie minima pentru o anumita
clasa de solutii posibile. In aceasta categorie se incadreaza teoria celei mai
bune aproximari, cuprinzand ca un caz special important metoda celor mai
mici patrate, precum si a formulelor optimale de derivare si integrare
numerica.
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.
