Analiză numerică

1 Erori

In calcule practice se fololosesc valori aproximative ale m 1/4 arimilor numerice im-

plicate.

Valoarea

ea = jx ? xj

unde x este m 1/4 arimea exact 1/4 a iar x este m 1/4 arimea aproximativ 1/4 a, se nume,ste

eroare absolut 1/4 a. Valoarea

er = jx ? xj

jxj

se nume,ste eroare relativ 1/4 a.

In multe situa,tii eroarea relativ 1/4 a este mai semni?cativ 1/4 a ca eroarea abso-

lut 1/4 a. De exemplu, aproximand pe p0:002 cu 0,04 avem o eroare absolut 1/4 a

p0:002 ? 0:04

t 4: 721 410?3 foarte mic 1/4 a ce reprezint 1/4 a totu,si jp0:002?0:04 p0:002 j t

0:105 57 t 10;5% din valoarea exact 1/4 a. Eroarea relativ 1/4 a re?ect 1/4 a acest lucru

er = jp0:002?0:04j 0:04 t 0:118 03 t 12%. Pentru numere mari, de exemplu pen-

tru x=2000, o aproximare a lui cu x = 1990 desi d 1/4 a o eroare absolut 1/4 a mare,

ea = 10, aceasta nu reprezint 1/4 a decat 10=2000 = 0:005 = 0;5% din x, deci aprox-

ima,tia este in multe cazuri acceptabil 1/4 a. Eroarea relativ 1/4 a ea = 10

1990 t 0;5%

scoate in eviden,t 1/4 a mai bine acceptabilitatea aproxim 1/4 arii.

Pentru vectori eroarea absolut 1/4 a se de?ne,ste asem 1/4 an 1/4 ator, inlocuind modulul

cu norma

ea = jjx ? xjj

iar eroare relativ 1/4 a prin

er = jjx ? xjj

jjxjj

Ca norme jjxjj pe Rn se folosesc

1. jjxjj1

= max fjx1j ; jx2j ; ::: jxnjg

2. jjxjj2 =

p

x21

+ x22

+ :::x2

n

3. jjxjj1 = jx1j + jx2j + :: + jxnj

1

V.P. Lec,tii de analiz 1/4 a numeric 1/4 a pentru anul II instala,tii 2

Exerci,tiul I Ar 1/4 ata,ti c 1/4 a pentru toate cele 3 norme avem: a) jjxjj  0 ,si jjxjj = 0

este echivalent cu x=0; b) jjx + yjj  jjxjj+jjyjj ; c) jj
xjj = jj
jjxjj cu  2 R.

Pentru func,tiile de?nite pe o mul,time A cu valori reale se folose,ste ?e norma

uniform 1/4 a

jjfjj = max

x2A jf (x)j

?e o norm 1/4 a integral 1/4 a dac 1/4 a f este de?nit 1/4 a pe un interval [a, b] ,si este de exemplu

continu 1/4 a sau continu 1/4 a pe por,tiuni ,si m 1/4 arginit 1/4 a.

jjfjj =

p

f2 (x) dx

Exerci,tiul II S 1/4 a se arata c 1/4 a normele pentru func,tii de?nite mai sus satisfac

a), b), c) din exerci,tiul precedent.

Pentru matricele a 2 M (n; m;R) se utilizeaz 1/4 a frecvent una din normele

1.

jjajj1

= max

i=1::n

Xm

j=1

jai;j j

sau

2.

jjajj1 = max

j=1::m

Xn

j=1

jai;j j

Una este maximul din sumele modulelor elementelor pe linii, iar cealalt 1/4 a este

maximul din sumele pe coloane.

Exerci,tiul III Fie a =

0

@ ?2 1 4

9 ?7 1

0 ?3 1

1

A. S 1/4 a se calculeze jjajj1

,si jjajj1.

Exerci,tiul IV S 1/4 a se arate c 1/4 a pe lang 1/4 a propriet 1/4 a,tile a) b) c) din execi,tiul I,

normele de matrice de?nite mai sus au ,si proprietatea d) jja
bjj = jjajj
jjbjj.

Norma pe un spa,tiu vectorial permite de?nirea distan,tei intre vectori precum

,si no,tiunea de convergen,t 1/4 a a ,sirurilor de vectori. Astfel, distan,ta dintre vectori

se de?ne,ste

d (x; y) = jjx ? yjj

Exerci,tiul V Utilizand propriet 1/4 a,tile a) b) c) ale normei, a,sa cum sunt enun,tate

in exerci,tiul I, s 1/4 a se arate c 1/4 a distan,ta are propriet 1/4 a,tile: a) d (x; y)  0 ,si

d (x; y) = 0 dac 1/4 a ,si numai dac 1/4 a x=y; b) d (x; y)  d(x; z) + d (z; y) (inegali-

tatea triunghiului); c) d (x; y) = d (y; x).