1.1 Spatii metrice
1.1 Fie (G; +) un grup comutativ si p : G ! R+ o functie ce satisface proprietatile:
1) p(x) = 0 d.d. x = 0;
2) p(?x) = p(x), 8x 2 G;
3) p(x + y) p(x) + p(y), 8x; y 2 G.
Sa se arate ca aplicatia d : G G ! R, d(x; y) = p(x ? y), 8x; y 2 G este o metrica
pe G.
R: Veri cam ca d satisface axiomele metricii: 1o: d(x; y) = p(x ? y) 0, 8x; y 2 G
pentru ca x ? y = x + (?y) 2 G si d(x; y) = 0 , p(x ? y) = 0 , x ? y = 0 , x = y;
2o: d(x; y) = p(x ? y) = p(?x + y) = p(y ? x) = d(y; x); 3o: d(x; y) = p(x ? y) =
p(x ? z + z ? y) p(x ? z) + p(z ? y) = d(x; z) + d(z; y), 8x; y; z 2 G.
1.2 Fie N multimea numerelor naturale. Sa se arate ca urmatoarele aplicatii sunt
distante pe N:
1) d : NN ! R+, d(m; n) = jm ? nj, 8m; n 2 N.
2) d : NN! R+, d(m; n) =
1
m ? 1
n
, 8m; n 2 N.
3) d : NN ! R+, d(m; n) =
m
1+m ? n
1+n
, 8m; n 2 N.
1.3 Fie Rn = R R R, produsul cartezian const^and din n 1 factori si
x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; yn) 2 Rn. Sa se arate ca aplicatiile: d; ; :
Rn Rn ! R+, de nite prin:
d(x; y) =
vuut
Xn
k=1
(xk ? yk)2; (x; y) =
Xn
k=1
jxk ? ykj; (x; y) = max
k=1;n
jxk ? ykj
sunt metrici pe Rn.
5
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT IILOR METRICE 6
R: Pentru d se aplica inegalitatea lui Minkowski:
vuut
Xn
k=1
(ak + bk)2
vuut
Xn
k=1
a2
k +
vuut
Xn
k=1
b2
k; 8a = (a1; a2; : : : ; an); b = (b1; b2; : : : ; bn):
1.4 Sa se hasureze ^n R2 sferele deschise S(0; r), r > 0, relative la metricile d; ;.
1.5 Sa se arate ca d; ; sunt metrici echivalente pe Rn.
R: Se demonstreaza inegalitatile:
p
n d n n n
p
n .
1.6 Sa se arate ca d : R R ! R+, d(x; y) = jx?yj
1+jx?yj , 8x; y 2 R este o metrica pe R.
R: Se tine seama ca oricare ar a; b; c 0 cu a b + c, avem:
a
1 + a
a
b
1 + b
b + c
1 + c
c;
deoarece din 0 urmeaza
1+
1+ .
1.7 Fie d : XX! R+ o metrica pe X. Sa se arate ca aplicatia : XX! R+
de nita prin (x; y) = d(x;y)
1+d(x;y) este de asemenea o metrica pe X.
1.8 Sa se arate ca ^ntr-un spatiu metric (X; d) avem:
1) d(x1; xn)
Pn
i=1
d(xi; xi+1), 8x1; : : : ; xn 2 X, n 2.
2) jd(x; z) ? d(z; y)j d(x; y), 8x; y; z 2 X.
3) jd(x; y) ? d(x0; y0)j d(x; x0) + d(y; y0), 8x; x0; y; y0 2 X.
R: 3) d(x; y) d(x; x0) + d(x0; y) d(x; x0) + d(x0; y0) + d(y0; y).
1.9 Fie X o multime nevida. Sa se arate ca aplicatia d : X X ! R, de nita prin:
d(x; y) =
0; x = y
1; x 6= y
este o metrica pe X (metrica discreta pe X).
1.10 Sa se arate ca aplicatia d : R+ R+ ! R+, de nita prin:
d(x; y) =
x + y; x 6= y;
0; x 6= y
este o metrica pe R+.
1.11 Sa se arate ca aplicatia d : Rn Rn ! R, de nita prin:
d(x; y) =
Xn
k=1
1
2k
jxk ? ykj
1 + jxk ? ykj
;
8 x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; yn) 2 Rn este o metrica pe Rn.
[1] Lia Arama, T. Morozanu, Culegere de probleme de calcul diferential si integral,
Vol. I, Editura Tehnica, Bucuresti, 1967.
[2] V. Barbu, Ecuatii diferentiale, Editura Junimea, Iasi, 1985.
[3] G. N. Berman, A Problem Book in Mathematical Analysis, Mir Publishers,
Moscow,1980.
[4] Gh. Bucur, E. C^ampu, S. Gaina, Culegere de probleme de calcul diferential si
integral, Vol. II si III, Editura Tehnica, Bucuresti, 1967.
[5] I. Burdujan, Elemente de algebra liniara si geometrie analitica, Rotaprint IPI,
1982.
[6] N. Calistru, Gh. Ciobanu, Curs de analiza matematica, Rotaprint IPI, 1988.
[7] G. Chilov, Analyse mathematique, Editions Mir, Moscou, 1984.
[8] S. Chirita, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica si pedagogica,
Bucuresti, 1989.
[9] A. Corduneanu, Ecuatii diferentiale cu aplicatii ^n electrotehnica, Editura FACLA,
Timisoara, 1981.
[10] A. Corduneanu, A. L. Pletea, Notiuni de teoria ecuatiilor diferentiale, Editura
MATRIX ROM, Bucuresti, 1999.
[11] B. Demidovich, Problems in mathematical analysis, Mir Publishers, Moscow, 1981.
[12] N. Donciu, D. Flondor, Analiza matematica. Culegere de probleme, Editura
ALL, Bucuresti, 1993.
[13] N. Gheorghiu, T. Precupanu, Analiza matematica, Editura Didactica si pedagogic
a, Bucuresti, 1979.
[14] M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, E. Shihin, Mathematical Analysis
for Engineers, Vol. I and II, Mir Publishers, Mosvow, 1990.
[15] V. A. Kudryavtsev and B. P. Demidovich, A Brief Course of Higher Mathematics,
Mir Publishers, Moscow, 1978.
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
