Partea I - enunt,uri
CAPITOLUL 0
Mult,imi. Funct,ii. Relat,ii
0.1 Considera?m o mult,ime nevida? E s,i doua? familii de pa?rt,i ale sale
{Ai, iIA1}, {Bj, jIA2}. Atunci avem :
(a) (E{Ai, iIA1})C(E{Bj, jIA2})=E{AiCBj, iIA1, jIA2};
(b) (C{Ai, iIA1})E(C{Bj, jIA2})IC{AiEBj, iIA1, jIA2};
(c) C(E{Ai, iIA1})=C{CAi, iIA1};
(d) C(C{Ai, iIA1})=E{CAi, iIA1};
(e) (E{Ai, iIA1})x(E{Bj, jIA2})=E{AixBj, iIA1, jIA2};
(f) (C{Ai, iIA1})x(C{Bj, jIA2})=C{AixBj, iIA1, jIA2}.
0.2 Sa? se arate ca?, daca? s,irurile de mult,imi (An)n?1, (Bn)n?1 sunt descresca
?toare (AnEAn+1, respectiv BnEBn+1, (") nIN*), atunci:
C{AnEBn, nIN*}=(C{An, nIN*})E(C{Bn, nIN*}).
0.3 Daca? (Ai)iIA este o familie oarecare de mult,imi, demonstrat,i ca?:
(a) C{ (Ai), iIA}= (C{Ai, iIA});
(b) E{ (Ai), iIA}I (E{Ai, iIA}),
unde (A) desemneaza? familia pa?rt,ilor mult,imii A.
0.4 Fie (An)n un s,ir de mult,imi. Ara?tat,i ca? exista? un s,ir de mult,imi (Bn)n
cu proprieta?t,ile:
(a) BnIAn, (") nIN*;
(b) BnCBm=AE, (") n?m;
(c) E{An, nIN*}=E{Bn, nIN*}.
0.5 Daca? (Ai)iIN este un s,ir de mult,imi iar A?AE, atunci fiecare ele-ment
din A apart,ine la o infinitate de termeni ai s,irului daca? s,i numai daca?
AI , (") nIN.
?
i n
Ai
0.6 Considera?m o mult,ime nevida? E s,i (Ai)iII un sistem finit de pa?rt,i ale
sale. Atunci exista? un sistem finit (Bj)jIJ de elemente din (E), disjuncte
doua? cate doua?, astfel incat:
E{Ai, iII}=E{Bj, jIJ} s,i Ai=E{Bj, jIJ, BjIAi}, (") iII.
0.7 Considera?m familiile de mult,imi (Ai)iIA s,i (Bi)iIA. Atunci au loc
relat,iile:
(a) E{AiBi, iIA}I(E{Ai, iIA})(C{Bi, iIA});
(b) C{AiBi, iIA}=(C{Ai, iIA})(E{Bi, iIA}).
0.8 Sa? se demonstreze urma?toarele proprieta?t,i ale produsului cartezian:
(a) AxB=AE U A=AE sau B=AE;
(b) A1xB1IA2xB2 U A1IA2, B1IB2;
(c) (E{Ai, iIA})x(E{Br, rIA})=E{AixBr, (i,r)IAxA}
(C{Ai, iIA})x(C{Br, rIA})=C{ArxBj, (i,r)IAxA};
(d) (AC)x(BD)I(AxB)(CxD) (incluziunea fiind, in general, stricta?).
Toate literele care apar reprezinta? mult,imi arbitrare.
0.9 Daca? E,F sunt doua? mult,imi iar ?:E F o funct,ie, atunci pentru orice
familii de mult,imi {Ai, iIA1}I (E), {Bj, jIA2}I (F) avem relat,iile:
(a) ?(E{Ai, iIA1})=E{?(Ai), iIA1};
(b) ?(C{Ai, iIA1})IC{?(Ai), iIA1}, egalitatea avand loc atunci cand
? este injectiva?;
(c) ?-1(E{Bj, jIA2})=E{?-1(Bj), jIA2};
(d) ?-1(C{Bj, jIA2})=C{?-1(Bj), jIA2}.
0.10 Fie E,F doua? mult,imi s,i ?:E F o funct,ie. Atunci, pentru AIE s,i
BIF, au loc relat,iile:
(a) AI?-1(?(A)), egalitatea avand loc daca? ? este injectiva?;
(b) ?(?-1(B))IB, egalitatea relizandu-se cand ? este surjectiva?.
0.11 Fie ?:E F o funct,ie. Sa? se demonstreze ca?:
(a) ? este injectiva? U (") A1,A2IE cu ?(A1)I?(A2) rezulta? A1IA2;
(b) ? este surjectiva? U (") B1,B2IF cu ?-1(B1)I?-1(B2) rezulta? B1IB2.
0.12 Se considera? doua? mult,imi E,F iar ?:E F o funct,ie. Demonstrat,i
afirmat,iile:
(a) ?(AC?-1(B))=?(A)CB, (") AIE, BIF;
(b) daca? AIE s,i g=? A, atunci g-1(B)=AC?-1(B), (") BIF.
0.13 Fie E,F doua? mult,imi s,i ?:E F o funct,ie.
Atunci:
(a) ? este injectiva? U ?(CA)IC?(A), (") AIE;
(b) ? este surjectiva? U ?(CA)EC?(A), (") AIE;
(c) ? este bijectiva? U ?(CA)=C?(A), (") AIE;
(d) ?-1(CB)=C?-1(B), (") BIF.
0.14 Considera?m o mult,ime E s,i o funct,ie F: (E) (E) care satisface
condit,iile:
(a) F(AEB)=F(A)EF(B), (") A,BIE;
(b) F(F(A))=A, (") AIE.
Sa? se arate ca? exista? o biject,ie ?:E E astfel incat ?(A)=F(A), pentru
orice AIE.
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.
