Grafica calculatorului

Transformari geometrice elementare

Translatia

Translatia este transformarea prin care un obiect este deplasat din pozitia sa, cu o distanta data, dupa o directie data. Matematic, translatia este descrisa in modul urmator? x?=x+tx, y?=y+ty, unde tx, ty ? parametrii de translatie.

Scalare

Scalare este transformarea prin care un obiect este marit sau micsorat. Transformarea data este specificata prin doua numere, numite factorul de scalare pe axa x si factorul de scalare pe axa y. Un factor de scalare supraunitar specifica o marire, iar unul subunitar o micsorare.

Avem 2 tipuri de operatiuni de scalare? scalare fata de origine si scalare fata de un punct oarecare din plan.

Scalare fata de origine - Scalare imaginii P(x,y) fata de origine se descrie in mod urmator?

x?=x*sx, y?=y*sy unde sx, sy sunt factori de scalare.

Daca sx=sy scalare este uniforma; ea nu produce deformarea obiectului transformat. In caz contrar scalare este numita neuniforma.

Scalare fata de un punct oarecare din plan

Fie F(xf,yf) este un punct din plan fata de care este scalata imaginea P(x,y). Punctul F este numit punctul fix al transformarii deoarece nu se modifica prin aplicarea transformarii. Scalarea functiei P?x,y? fata de F(xf,yf) cu factorii sx, sy se descrie ca? x? = (x- xf)sx + xf , y? = (y ? yf)sy + yf .

Rotatia

Rotatia fata de origine

Aceasta transformare este specificata printr-un unghi; daca unghiul este pozitiv, atunci rotatia este efectuata in sensul trigonometric, altfel in sensul miscarii acelor de ceas. Fie P(x,y) un punct si u ? unghiul de rotatie. Calculul punctului P(x?,y?), obtinut prin rotatia punctului P?x,y? se efectueaza in mod urmator?

x?=x*cos(u)-y*sin(u), y?=x*sin(u)+y*cos(u)

Rotatia fata de un punct oarecare din plan

Fie P(x,y) este un punct din plan care se roteste in jurul unui punct F(xf,yf). Coordonatele punctului P(x?,y?), rezultat din rotatia punctului P(x,y) in jurul punctului F(xf,yf) cu un unghi u vor fi urmatoarele?

x? = (x-xf)cos(u)-(y?yf)sin(u)+xf, y? = (x-xf)sin(u)-(y?yf)cos(u)+yf

26. Compunerea transformarilor 2D.

In cele mai multe cazuri, transformarea care trebuie sa fie aplicata unui obiect la un moment dat este compusa din mai multe transformari elementare. Se poate obtine formula oricarei transformari compuse pe baza expresiilor matriciale ale transformarilor elementare.

Astfel, rotatia fata de origine a unui punct P(x,y) se poate exprima matricial astfel: ? cos(u) sin(u)?

?x? y?? = ?x y? ?-sin(u) cos(u)?

O scalare fata de origine se exprima astfel:

?sx 0 ?

?x? y?? = ?x y? ?0 sy?

O scalare fata de origine urmata de o rotatie fata de origine se exprima astfel: ?sx 0 ? ? cos(u) sin(u)?

?x? y?? = ?x y? ?0 sy? ??sin(u) cos(u)?

Formula transformarii compuse este:

x?=x*sx*cos(u)-y*sy*sin(u)

y?=x*sx*sin(u)+y*sy*cos(u)

27. Transformari geometrice 2D in coordonate omogene.

Transformarile elementare se exprima matricial, in coordonate carteziene, prin matrici de doua linii si doua coloane. Nu exista o asemenea matrice pentru translatie. Din acest motiv, transformarile grafice se