Studiul elementelor ireductibile și prime dintr-un domeniu de integritate

Definitie: Se numeste inel o multime A, nevida inzestrata cu doua legi de compozitie: +: AxA (A si (: AxA (A, una notata aditiv cealalta notata multiplicativ, care satisfac urmatoarele proprietati: ( () x (A, (-x (A a.

i. x+ (-x) = (-x) +x=0 Daca, in plus operatia de inmultire admite un element neutru, se spune ca inelul este cu element unitate sau unitar.

Exemple de inele: (Z, +, (), (Q, +, (), (R, +, (), (C, +, () sunt inele comutative si unitare.

(Z[i], +, () numit inelul intregilor lui Gauss, unde Z[i]={z/z=a+bi; a, b (Z}, iar operatiile + si (sunt cele uzuale cu numere complexe. Se verifica usor ca (Z [i], +, () este inel comutativ unitar.

(Zn, +, () este inel comutativ unitar, inelul claselor de resturi modulo n.

Propozitia 1. 1. Daca A este un inel, atunci: x (0=0 (x=0, (x (A; (-x) y=x (-y) =-xy, (x, y (A; (-x) (-y) =xy, (x, y (A (regula semnelor) x (y-z) =xy-xz si (y-z) x=yx-zx, (x, y, z (A; (distributivitatea inmultirii fata de scadere) Demonstratie: x (0=x ( (0+0) =x (0+x (0. Adunind -x (0 la ambii membrii ai egalitatii x (0=x (0+x (0, obtinem: x (0=0. Analog, 0 (x=0. 0=0 (y=[x+ (-x) ]y=xy+ (-x) y. Deci opusul lui xy este (-x) y, de unde (-x) y=-xy Analog se arata ca x (-y) =-xy iar (-x) (-y) =- (x (-y)) =- (-xy) =xy. x (y-z) =x (y+ (-z)) =xy+x (-z) =xy-xz si analog (y-x) z=yz-xz. Observatie: Intr-un inel unitar A cu cel putin doua elemente, avem 1 (0. Intr-adevar, daca 1=0, atunci x=1 (x=0 (x=0, de unde A={0}, contradictie.

Definitie: Fie (A, +, . ) un inel comutativ.

Un element x (A, x (0 se numeste divizor al lui zero daca exista y (A, y (0 a.

i. xy=0. In inelul (Z 8, +, . ) elementele 2 si 4 sunt divizori ai lui zero, caci: 2 4=0 si 4 2=0. Spunem ca inelul A este fara divizori ai lui zero daca (x (0 si y (0 rezulta xy (0. Pe o multime A formata dintr-un singur element, a, se poate defini o singura structura de inel, punind a+a= a si a (a= a.

In acest caz a=1 si a=0, deci 1=0. Acesta se numeste inelul nul.

Un inel nenul A, comutativ, cu element unitate si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate sau inel integru.

Exemple: Inelele (Z, +, . ), (Q, +, . ), (R, +, . ), (C, +, . ), (Z[i], +, . ) sunt domenii de integritate.

Daca A este un inel unitar, elementele lui simetrizabile in raport cu inmultirea se bnumesc elemente inversabile sau unitati ale inelului. Inversul sau simetricul lui a, daca exista, se noteaza cu a.

Propozitia 1. 2. Daca inelul comutativ unitar A este nenul, atunci orice element inversabil din A nu este divizor al lui zero.

Demonstratie. Presupunem ca x (A este un element inversabil din A si ca este divizor al lui zero.

Atunci exista y (0 a.

i. xy =0. Daca x este inversul lui x, atunci avem x (xy) = (x x) y=1 y si x 0=0 (y=0, contradictie.

In particular, 1 (A fiind element inversabil, nu este divizor al lui zero, deci 1 (0. Intr-un domeniu de integritate A; produsul a doua elemente x, y (A este zero daca si numai daca x=0 sau y=0, adica xy=0 (x=0 sau y=0. Daca A este un domeniu de integritate, atunci din egalitatea ax=ay, a (0 (x=y. Deci intr-un domeniu de ...

MIRCEA BECHEANU, C. NITA, MIRELA STEFANESCU, A. DINCA, I. D. ION, N. RADU, C. VRACIU - "ALGEBRA PENTRU PERFECTIONAREA PROFESORILOR"

ION CUCUREZEANU - "PROBLEME DE ARITMETICA SI TEORIA NUMERELOR"

ION D. ION, NICOLAE RADU - "ALGEBRA"

ION D. ION, CONSTANTIN NITA, C. NASTASESCU - "COMPLEMENTE DE ALGEBRA"

ION D. ION, C. NITA - "ELEMENTE DE ARITMETICA CU APLICATII IN TEHNICI DE CALCUL"

ION D. ION, CONSTANTIN NITA, NICOLAE RADU - "PROBLEME DE ALGEBRA"

C. NASTASESCU, C. NITA, C. VRACIU - "BAZELE ALGEBREI"

C. NASTASESCU, C. NITA - "TEORIA CALITATIVA A ECUATIILOR ALGEBRICE"

C. NASTASESCU, C. NITA, C. VRACIU - "ARITMETICA SI ALGEBRA"

C. NASTASESCU, C. NITA, M. BRANDIBURU, D. FOITA - "EXERCITII SI PROBLEME DE ALGEBRA, CLS. A IX A - A XII A"

EUGEN RUSU, E. OPREANU, N. OPRESCU - "METODICA PREDARII MATEMATICII"

EUGEN RUSU - "MATEMATICA IN LICEU. PROBLEME DE METODICA"

W. SIERPINSKI - "CE STIM SI CE NU STIM DESPRE NUMERELE PRIME"

"MANUALELE DE ARITMETICA DIN GIMNAZIU"

"MANUALELE DE ALGABRA DIN LICEU"

COLECTIA "GAZETA MATEMATICA"