Cercul

Introducere

Istoria geometriei urmărește evoluția acestei științe care studiază relațiile spațiale din cele mai vechi timpuri, când oamenii au început să măsoare distanțele, ariile și volumele, ca apoi să se ajungă la geometria clasică, în care accentul era pus pe construcțiile cu rigla și compasul.

Un moment crucial l-a constituit introducerea rigorii matematice prin axiomatizarea introdusă de Euclid, care a influențat evoluția a secole întregi de știință. În epoca modernă, geometria beneficiază de aportul algebrei abstracte a calculului diferențial și integral și a evoluat în diverse ramuri ale acesteia, cu grad înalt de abstractizare, mult diferențiate de formele din trecut.

Bazele geometriei folosite astăzi se bazează pe scrierile lui Euclid, in special pe lucrarea sa Elementele. De asemenea, lucrarea, conține bazele teoriei numerelor. Este bine cunoscut algoritmul lui Euclid de aflare a celui mai mare divizor comun a două numere întregi. Acest algoritm este unul din cei mai vechi algoritmi cunoscuti.

Euclid a trait între anii 365-300 î.H. Data nu este exactă. Foarte puțin cunoscut în timpul vieții sale, Euclid a trait în Alexandria, Egipt. Educația a primit-o la Academia lui Platon din Atena, Grecia.

Elementele este, probabil, cea mai cunoscută carte de Geometrie și reprezintă un vârf al revoluției matematice care a avut loc în Grecia antică până la acel moment. Euclid a scris mai multe lucrări și tratate de științe. În Elementele el a publicat și sistematizat cunoștințele de până atunci din domeniul Geometriei. A scris demonstrații la Teorema lui Pitagora, lucrări ale lui Hippocrate, Theudius, Theaetetus și Eudoxus. Lucrarea cuprinde peste 465 teoreme și deomostrații descrise într-un stil clar, logic și elegant. El a refăcut conceptele matematice ale predecesorilor săi într-o lucrare dând naștere la ceea ce cunoaștem azi ca fiind Geometria euclidiană. Teoria sa a rămas valabilă timp de peste 2300 ani până când Bolyai și Lebanovschi au dat naștere unei noi teorii în geometrie cunoscută ca Geometrie neeuclidiană.

Lucrarea este structurată în patru capitole. Primul capitolul începe prin definirea cercului și continuă cu definirea elementelor sale: centru, rază, diametru, coardă și arc de cerc. Capitolul doi intitulat ”Unghiuri înscrise și arce interceptate” tratează definiții legate de unghiuri și arce. În capitolul trei tratăm probleme și teoreme despre cerc în geometria analitică, iar ultimul capitol intitulat ”Aplicații” sunt prezentate probleme și exercitii rezolvate și propuse.

CAPITOLUL I

CERCUL

I.1. Cercul în plan. Definiții

Def.1 Fie P un punct într-un plan dat și fie r un număr pozitiv. Cercul cu centrul P și raza r este mulțimea tuturor punctelor din plan care au distanța la P egală cu r.

R

Q

г

Fig.1. Cercul

Vorbind neriguros, un cerc este frontiera unei regiuni rotunde într-un plan.

Def.1.1 Aria discului și circumferința cercului

Def.2 Două sau mai multe cercuri coplanare cu același centru se numesc concentrice. Fig.2

Fig.2. Cercuri concentrice

O coardă a unui cerc este un segment cu capetele pe cerc. În figura (3) AB este o coardă.

A B

Fig. 3. AB - coardă

O dreaptă care intersectează cercul în două puncte se numește o secantă a cercului. În figura 4, AB este secantă.

Fig.4. Secanta unui cerc

1. E.E.Moise, F.L.Downs,Jr. - Geometrie, Editura Didactică și Pedagogică București 1983

2. M.Pimsner, S.Popa - Probleme de Geometrie Elementară, Editura Didactică și Pedagogică București 1979

3. A.Coța - Geometrie și Trigonometrie, Editura Didactică și Pedagogică București 1990

4. Botez St. Mihail - Geometrie descriptivă , Editura. Didactică și Pedagogică,București , 1965

5. Gh. D. Simionescu - Probleme de sinteză de geometrie plană și în spațiu, Editura: Tehnica, 1978