Analiza interpretărilor economice a funcțiilor reale de mai multe variabile

Definitia 4. Se numeste vecinatate a unui punct x0 (Rn orice multime V (Rn care contine o sfea deschisa cu centrul in x0, deci (Sr (x0), astfel incat Definitia 5. x0 (Rn se numeste punct interior al multimii A (Rn, daca exista o vecinatate V a lui x0, inclusa in A, deci x0 (V (A. O multime A care contine numai puncte interioare se numeste multime deschisa si avem ca A = int. A, unde int. A este multimea punctelor interioare ale lui A.

Definitia 6. x0 (Rn se numeste punct exterior al multimii A, daca x0 este punct exterior al complementarei lui A (notata CA). Definitia 7. x0 (Rn se numeste punct aderent al multimii A, daca orice vecinatate V a lui x0, contine cel putin un punct din A, adica V (A ( (. Definitia 8. x0 (Rn se numeste punct frontiera al multimii A, daca orice vecinatate V a lui x0 contine puncte din A cat si din CA.

Multimea punctelor frontiera a multimii A se noteaza Fr (A) si se numeste frontiera lui A.

Definitia 9. x0 (Rn se numeste punct de acumulare al multimii A, daca orice vecinatate V a lui x0, contine cel putin un punct din A, diferit de x0, adica (V {x0}) (A ( (. Observatia 2. Punctul x0 de acumulare poate sa apartina sau nu multimii A, si orice punct de acumulare este punct aderent, reciproca nu este adevarata.

Definitia 10. punctele lui A care nu sunt puncte de acumulare ale lui A se numesc puncte izolate, deci x0 (A, este izolat daca exista o vecinatate x0 care nu contine nici un punct din A in afara de x0. 1. 2 Limita unei functii de mai multe variabile.

Definitia 12. Fie A (Rn, si variabila vectoriala x = (x1, x2, , xn) (A, atunci functia (: A (R se numeste functie reala de n variabile, valoarea ei in punctul x = (x1, x2, , xn) (A se noteaza ( (x) = ( (x1, x2, , xn). Observatia 3. Daca pentru o functie (se fixeaza (n-1) variabile din cele n variabile ale functiei, se obtine o functie de o variabila, denumita functie partiala a lui (, analog cand se fixeaza un grup oarecare de s variabile (s < n). Observatia 4. Graficul unei functii de n variabile (: A (R, A Ra?? este: Fie A (Rn, (: A (R si a = (a1, a2, , an) (Rn, punct de acumulare pentru A, atunci urmatoarele definitii ale limitei sunt echivalente: Definitia 13. (cu vecinatati). Spunem ca l (R este limita a functiei (in punctul a, daca: Definitia 14. (cu (si (). Definitia 15. (cu siruri). si se intelege ca avem limita functiei (cand x1, x2, , xn tind independent si simultan catre a1, a2, , an. fiecare dintre ele depinzand de celelalte (n-2) variabile, astfel de limite sunt numite iterate.

Exemplu. Pentru functii de doua variabile avem limitele iterate: care in general nu sunt egale, asa cum se arata in exemplele urmatoare: Legatura dintre limita unei functii intr-un punct si limitele iterate este data de teorema 1. Teorema 1. Daca exista limita functiei intr-un punct si una din limitele iterate in acest punct, atunci aceste limite sunt egale, deci limita functiei daca exista este unica.

Observatia 7. Operatiile cu limite de functii de mai multe variabile sunt aceleasi ca pentru ...