In cele ce urmeaza (K, +, ) va reprezenta un corp comutativ, ale carui elemente le vom numi scalari si V o multime nevida, ale carui elemente le vom numi vectori, pe care vom defini: In raport cu aceste operatii, (V, +, ) se numeste spatiu vectorial peste corpul K daca sunt indeplinite conditiile: Observatia 1. 1. 1. i) In definitia de mai sus nu trebuie sa se confunde operatia de adunare a scalarilor din corpul K cu operatia de adunare a vectorilor din V chiar daca sunt notate la fel. De asemenea nu trebuie sa se faca confuzie intre inmultirea din corpul K si inmultirea cu scalari definita mai sus.
Propozitia 1. 1. 2. Daca V este un spatiu vectorial peste corpul K, atunci: Demonstratie.
Observatia 1. 1. 3. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si v1, v2 = V atunci definim diferenta celor doi vectori astfel: Scaderea vectorilor nu mai este nici comutativa si nici asociativa. Subspatii vectoriale Demonstratie.
Exemple de subspatii vectoriale 2) Fie Mn (K) - K spatiu vectorial al matricelor patratice de ordin n cu coeficienti in K.
Vom considera multimile: multimea matricelor patratice de ordin n simetrice peste corpul K si multimea matricelor patratice de ordin n antisimetrice peste corpul K.
Operatii cu subspatii vectoriale Propozitia 1. 1. 6. ii) In general reuniunea a doua sau a mai multor subspatii ale lui V nu este subspatiu vectorial al lui V.
Deci avem relatia: Dependenta si independenta liniara Fie V un spatiu vectorial peste corpul comutativ K si S o submultime de elemente din V.
Exemple. {0} este o multime liniar dependenta.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - Observatia 1. 1. 16. Orice subsistem al unui sistem de vectori liniari independenti este liniar independent.
A? 1. 2. Baza si dimensiune Fie V un spatiu vectorial peste corpul comutativ K.
Definitia 1. 2. 1. O multime B de vectori din V se numeste baza pentru V, daca B este o multime de vectori liniar independenti si formeaza sistem de generatori pentru V.
Propozitia 1. 2. 2. Orice spatiu vectorial diferit de spatiul nul admite cel putin o baza.
Observatia 1. 2. 4. Propozitia 1. 2. 3., mai poarta denumirea de Teorema schimbului. Propozitia 1. 10. Fie V un spatiu vectorial finit dimensional, B si B doua baze ale sale. Atunci B si B au acelasi numar de elemente.
Propozitia 1. 2. 7. Fie v un spatiu vectorial peste corpul comutativ K, astfel incat dimkV = n.
Atunci sunt adevarate afirmatiile: i) Orice multime de vectori liniar independenti poate fi completata la o baza a spatiului vectorial V.
ii) Orice multime formata din n vectori liniar independenti este o baza a lui V.
Observatia 1. 2. 8. In cele ce urmeaza vom intelege prin baza intr-un spatiu vectorial finit dimensional, o multime finita, ordonata, liniar independenta, care genereaza spatiul dat.
Stiind ca rangul unei matrice nu se schimba daca permutam liniile (coloanele) intre ele, vom presupune ca submatricea lui A: Fie deci egalitatea: Acestor relatii li se ataseaza matricea: Propozitia 1. 2. 13. Fie sistemul omogen de ecuatii liniare cu ...
ION D. ION, NICOLAE RADU - "ALGEBRA" - EDITURA DIDACTICA SI PEDAGOGICA, BUCURESTI, 1981
ION D. ION, NICOLAE RADU, NITA C. , POPESCU D. - "PROBLEME DE ALGEBRA" - EDITURA DIDACTICA SI PEDAGOGICA, BUCURESTI, 1981
SERGE LANG - "INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA" - SPRINGER - VERLAG, 1993
NASTASESCU C. , NITA C. , VRACIU C. - "BAZELE ALGEBREI" - EDITURA ACADEMIEI, BUCURESTI, 1986
MIHAELA RADUICA - "CURS DE ALGEBRA LINIARA" - BRASOV, 1992
EUGENIA RADESCU - "ALGEBRA LINIARA" - EDITURA "UNIVERSITARIA", CRAIOVA, 1997
FLAUT C. - "LECTII DE ALGEBRA LINIARA" - OVIDIUS UNIVERSITY PRESS, CONSTANTA, 2000
HERNSTEIN I. N. - "TOPICS IN ALGEBRA" - JOHN WILEY AND SONS, NEW - YORK, 1975
Pentru a descărca acest document,
trebuie să te autentifici in contul tău.
