Compunerea oscilațiilor armonice perpendiculare

Oscilatiile prezinta o importanta covarsitoare pentru fizica si tehnica, iar dintre ele cele simple, sinusoidale au rol fundamental, fiindca orice oscilatie poate fi obtinuta prin suprapunerea unor oscilatii sinusoidale (teorema Fourier). Oscilatorul armonic este un punct material care executa oscilatii sinusoidale pe o dreapta sub actiunea unei forte atractive proportionale cu distanta pana la centrul atractiv (centrul miscarii). Ecuatia diferentiala a oscilatorului armonic: Miscarea armonica poate fi reprezentata geometric prin proiectia pe o axa a unui vector de modul A care se roteste in sens trigonometric cu viteza unghiulara I?

(fig. 2). Proiectia A a extremitatii acestui vector executa miscarea armonica (fig. 1). Fig. 1 Analog, viteza si acceleratia in miscarea armonica sunt date in fiecare moment de proiectiile extremitatii vectorilor de modul I?A, I?2A, defazati cu IEUR/2, respectiv IEUR fata de vectorul A (fig. 2). Ne putem imagina de asemenea ca in loc sa se roteasca vectorii, se roteste axa OX in sens invers.

Fig. 2 b) Energia cinetica, Ec, potentiala U si totala E a oscilatorului armonic sunt: Energia totala este constanta (se conserva) si este proportionala cu patratul amplitudinii si cu patratul frecventei.

Energia potentiala U se reprezinta printr-o parabola, iar forta printr-o dreapta (fig. 3). Forta se anuleaza acolo unde energia potentiala este minima.

c) Reamintim definitia valorii medii a unei marimi, de exemplu x = f (t) (fig. 4) : Fig. 3 Fig. 4 Valoarea medie depinde de intervalul pe care se face media.

Pentru functiile periodice, intervalul de mediere se ia egal cu perioada (daca nu se specifica contrariul). Din definitia valorii medii (11) rezulta imediat urmatoarele proprietati ale valorilor medii: Deoarece valoarea medie a sinusului sau cosinusului pe o perioada este evident nula, rezulta imediat: Energia cinetica medie este egala cu energia potentiala medie: d) Miscarea armonica joaca un rol important in fizica. Daca o particula (de exemplu, atom, ion) este deplasata din pozitia sa de echilibru, in care forta este nula, apare imediat o forta din partea sistemului (de exemplu, cristalului) orientata inapoi spre pozitia de echilibru.

Pentru deplasari mici forta este practic proportionala cu deplasarea (primul termen al dezvoltarii in serie de puteri Taylor), adica curba fortei poate fi aproximata in jurul pozitiei de echilibru printr-o dreapta, iar energia potentiala printr-o parabola. Prin urmare, oscilatiile mici sunt totdeauna armonice.

Efectele anarmonice apar la oscilatii de amplitudine mare.

Observatie. In mecanica cuantica se arata ca energia totala a unui oscilator armonic este cuantificata, adica poate lua un sir discret de valori: e) Exemple. Reamintim exemplele date mai inainte de oscilatii armonice.

1. Pendulul elastic.

Un corp de masa m suspendat pe un resort de constanta elastica k efectueaza oscilatii verticale (fig. 5, a) : Fig. 5. Putem fixa resortul orizontal, punand corpul pe un suport cu rotile ca ...