Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

- Ecuația exponențială este ecuația în care necunoscuta ???? figurează la exponent.

- În rezolvarea ecuațiilor exponențiale se folosesc atât proprietățile funcției exponențiale cât și unele substituții.

- Soluția unei ecuații reprezintă un număr real ????0, cu proprietatea că înlocuin ???? cu ????0 în ecuație obținem o egalitate adevărată.

- Două ecuații exponențiale se numesc echivalente dacă mulțimile soluțiilor lor coincid.

Proprietățile funcției exponențiale:

Forma funcției

????:ℝ- (0,+∞),????(????)=???????? ????>0,????≠1

Intersecția cu axele

????????∩????????=∅ ????????∩????????=????(0,1)

Monotonia

Dacă ????>1- ???? ???????????????????????????? ????????????????????ă???????????????????? ↗

Dacă ????∈(0,1)- ???? ???????????????????????????? ????????????????????????????????ă????????????????????↘

Semnul funcției

????(????)>0,(∀)????∈ℝ

Continuitate

???? ????????????????????????????ă ???????? ℝ

Bijectivitate

???? ????????????????????????????????ă ???????? ℝ

Asimptote

????=0,????????????????????????????????ă ????????????????????????????????????ă

Proprietățile puterilor cu exponent real ????????∙????????=????????+???? ????????????????=????????−???? (????????)????=(????????)????=???????????? ????????∙????????=(????????)???? ????????????????=(????????)???? ????0=1

Tipuri de ecuații exponențiale

1. Ecuații exponențiale de forma: ????????(????)=????????(????),????>????,????≠????

Cum rezolvăm: Deoarece funcția exponențială este bijectivă,deci și injectivă,????????(????)=????????(????)⟺????(????)=????(????)

Exemplul 1: ????????????−????=????−????????

Rezolvare:

Deoarece funcția exponențială este injectivă, rezultă că: 2????+1=−????2 ⇔ ????2+2????+1=0 ⇔ (????+1)2=0⟺ ????+1=0⟹????=−1 ????????????????ț???????? ???? ????????????????ț???????????? ????????????????

Exemplul 2: ????????????=????????∙????????

Rezolvare:

Se observă că atât 32 cât și 16 sunt puteri ale lui 2: 32=25,16=24

Înlocuind în ecuație și folosind proprietățile puterilor cu exponent real vom obține: (25)????=24∙2???? ⟺25????=24+????

Deoarece funcția exponențială este injectivă, rezultă că: 5????=4+???? ⟺ 5????−????=4 ⟺ 4????=4 ⟹????=1 ????????????????ț???????? ???? ????????????????ț???????????? ????????????????