Rezolvarea ecuatiilor exponentiale

- Ecuatia exponentiala este ecuatia in care necunoscuta ???? figureaza la exponent.

- In rezolvarea ecuatiilor exponentiale se folosesc atat proprietatile functiei exponentiale cat si unele substitutii.

- Solutia unei ecuatii reprezinta un numar real ????0, cu proprietatea ca inlocuin ???? cu ????0 in ecuatie obtinem o egalitate adevarata.

- Doua ecuatii exponentiale se numesc echivalente daca multimile solutiilor lor coincid.

Proprietatile functiei exponentiale:

Forma functiei

????:R- (0,+?),????(????)=???????? ????>0,????!=1

Intersectia cu axele

?????????????????=? ?????????????????=????(0,1)

Monotonia

Daca ????>1- ???? ???????????????????????????? ????????????????????a???????????????????? ?

Daca ?????(0,1)- ???? ???????????????????????????? ????????????????????????????????a?????????????????????

Semnul functiei

????(????)>0,(?)?????R

Continuitate

???? ????????????????????????????a ???????? R

Bijectivitate

???? ????????????????????????????????a ???????? R

Asimptote

????=0,????????????????????????????????a ????????????????????????????????????a

Proprietatile puterilor cu exponent real ?????????????????=????????+???? ????????????????=????????-???? (????????)????=(????????)????=???????????? ?????????????????=(????????)???? ????????????????=(????????)???? ????0=1

Tipuri de ecuatii exponentiale

1. Ecuatii exponentiale de forma: ????????(????)=????????(????),????>????,????!=????

Cum rezolvam: Deoarece functia exponentiala este bijectiva,deci si injectiva,????????(????)=????????(????)?????(????)=????(????)

Exemplul 1: ????????????-????=????-????????

Rezolvare:

Deoarece functia exponentiala este injectiva, rezulta ca: 2????+1=-????2 <=> ????2+2????+1=0 <=> (????+1)2=0? ????+1=0?????=-1 ????????????????t???????? ???? ????????????????t???????????? ????????????????

Exemplul 2: ????????????=?????????????????

Rezolvare:

Se observa ca atat 32 cat si 16 sunt puteri ale lui 2: 32=25,16=24

Inlocuind in ecuatie si folosind proprietatile puterilor cu exponent real vom obtine: (25)????=24?2???? ?25????=24+????

Deoarece functia exponentiala este injectiva, rezulta ca: 5????=4+???? ? 5????-????=4 ? 4????=4 ?????=1 ????????????????t???????? ???? ????????????????t???????????? ????????????????