Polinoame și ecuații algebrice

I. POLINOAME

1. Fie un inel comutativ cu element unitate.

I.1 POLINOAME

Def.: Se numeste polinom cu coeficienti in A in nedeterminata x o expresie de forma:

Fie si cu variabila x ,

I.2 OPERATII CU POLINOAME

Notam si

1) Adunarea:

Proprietati:

a) asociativitate:

b) comutativitate:

c) element neutru:

d) element simetric:

2) Inmultirea:

Proprietati:

a) asociativitate:

b) comutativitate:

c) element neutru:

d) Inmultirea este distributiva fata de adunare:

I.3 PROPOZITII

a) polinomul nul: polinomul cu coeficienti egali cu 0 pentru orice

b) gradul polinomului: se numeste grad al polinomului f si se noteaza Atunci

c) valoarea unui polinom: fie Atunci numarul

I.4 IMPARTIREA POLINOAMELOR

Teorema impartirii cu rest: Fie f si f cu atunci si astfel incat unde si

Teorema impartirii prin : Restul impartirii unui polinom prin binomul este egal cu valoarea a polinomului f in a.

Simbolic:

I.5 DIVIZIBILITATEA POLINOAMELOR

Teorema: Fie f si g doua polinoame. Spunem ca polinomul g divide polinomul f daca exista un polinom astfel incat

Teorema: Restul impartirii unui polinom prin binomul este egal cu zero:

Teorema lui Bezout: Fie f si doua polinoame. Spunem ca este radacina a lui sau

I.6 CEL MAI MARE DIVIZOR COMUN SI CEL MAI MIC MULTIPLU COMUN AL POLINOAMELOR

produsul termenilor comuni la puterea cea mai mica scrisa o singura data

produsul termenilor comuni si necomuni la puterea cea mai mare scrisa o singura data

I.7 ALGORITMUL LUI EUCLID