Matrici pătrate de ordin 2

I. RIDICAREA LA PUTERE A UNEI MATRICI PATRATE DE ORDIN 2

? In ceea ce urmeaza vom folosi urmatoarele notatii :

, S=a+d , D=ad-bc , ; a,b,c,d C (am notat cu C multimea numerelor complexe).

Presupunem cunoscuta identitatea:

A2=SA-DI (R I.1)

Oricum, se poate verifica foarte usor. In acest capitol vom da o generalizare a relatiei (R I.1) pentru puteri naturale ale lui A .

? Inmultind relatia (R I.1) cu An-1 obtinem An+1=SAn-DAn-1.

De aici rezulta ca putem sa consideram identitatea

(R I.2) daca definim produsul mixt

unde x,y,z,w C iar M,N sunt matrici patrate de ordin2.

Ceea ce e important pentru noi este ca produsul acesta are proprietatea asociativitatii mixte urmatoare :

unde x,y,z,w,x',y',z',w' C iar M si N sunt matrici patrate de ordin 2 cu elemente numere complexe.Aceasta se poate verifica direct prin calcul.

? Daca notam din relatia (R I.2) , prin iterare repetata si folosind asociativitatea mixta , rezulta :

Deci avem relatia n>=1 ; (R I.3)

care de altfel se poate verifica prin inductie.

Ceea ce este remarcabil aici este ca H are un element egal cu zero ; aceasta ne da posibilitatea sa calculam Hn si in cele din urma An+1.

? Calculul lui Hn si al lui An+1:

Notam ; atunci din relatia Hn+1=H Hn rezulta :

. De aici rezulta :

xn+1=Sxn-Dzn xn+1=Sxn - Dxn-1

yn+1=Syn-Dwn yn+1=Syn - Dyn-1 (R I.4)

zn+1=xn zn+1=xn

wn+1=yn wn+1=yn

Fie p si q radacinile ecuatiei ; presupunem ca p?q .

Atunci sirurile xn=a1pn+b1qn si yn= a2pn+b2qn sunt solutii pentru relatiile (R I.4) , ceea ce se poate verifica direct prin calcul.

Numerele a1,b1 si a2,b2 rezulta din conditiile initiale si

. H0=I deoarece presupunem det H=D?0 .

Rezulta: x0=1 , y0=0 si x1=S , y1= -D . Aceasta permite sa scriem relatiile :

a1+b1=x0=1 a2+b2=y0=0

a1p+b1q=x1=S a2p+b2q=y1= -D

De aici rezulta printr-un calcul simplu ca:

. De aici deducem :

Folosind relatia (R I.3) putem calcula An+1 ; din ea rezulta:

An+1=xnA+ynI= n>=1 (R I.5)

unde p,q sunt radacinile distincte ale ecuatiei .