Funcția exponențială și funcția logaritmică

Functia exponentiala

1). Puteri cu exponent real

a). Puteri cu exponent real pozitiv

Fie a > 1. Se numeste puterea x a lui a un numar real y care, pentru orice numar natural n , satisface inegalitatile :

,

unde numarul real x>0 are reprezentarie zecimale si prin lipsa si repectiv prin ados cu o eroare mai mics decat .

Numarul y dat de definitia precedenta se noteaza si se citeste a la puterea x.

Fie 0 < a < 1 si x un numar real pozitiv. Se numeste puterea x a lui a un numar real y care, pentru orice numar natural n , satisface inegalitatile : .

Atentie ! Oricare ar fi a > 0 si x > 0 are loc > 0.

b). Puteri cu exponent real negativ

Daca a > 0 si x > 0 este un numar real negative, atunci prin definitie are loc: .

Prin conventie se scrie .

c). Proprietati ale puterilor cu exponent real

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

2). Functia exponentiala

Definitie. Functia f:R?(0,+?), f(x) = , unde a > 0, a ? 1 se numeste functia exponentiala de baza a.

Proprietati

1). a). Daca a >1, atunci pentru x > 0 avem >1 ar loc > 1, iar pentru x < 0 are loc < 1.

b). Daca 0 <a <1, atunci pentru x > 0 avem <1, iar pentru x < 0 avem > 1.

2). Daca x = 0. atunci oricare ar fi a > 0 are loc

3). Pentru a > 1, functia exponentiala f:R?(0,+?), f(x) = este strict crescatoare, iar pentru 0 < a < 1, functia este strict descrescatoare.

4). Functia exponentiala f:R?(0,+?), f(x) = , a > 0, a ? 1 este bijectiva.

Demonstratie.Se arata ca f este injectiva. Fie, astfel incat . Atunci are loc sau . Sa presupunem, de exemplu, ca . Atunci, dupa monotonia functiei exponentiale, rezulta ca :

1). Daca a > 1, atunci si deci .

2). Daca 0<a>1, atunci si deci .

Analog, rezulta pentru .

Deci f este injectiva.

Surjectivitatea nu se poate demonstra in clasa a X-a. Dar, daca se foloseste graficul, se observa ca oriceparalela dusa prin puncteale codomeniului (0, +?) graficul functiei este interesctat in cel putin un punct.

5). Functia exponentiala f:R?(0,+?), f(x) = , a > 0, a ? 1 este inversabila. Inversa functiei exponentiale se numeste functie logaritmica.