Formule

Formulele inmultirii prescurtate. Puteri

1. (a _ b)2 = a2 _ 2ab + b2.

2. a2 ? b2 = (a + b)(a ? b).

3. (a _ b)3 = a3 _ 3a2b + 3ab2 _ b3 = a3 _ b3 _ 3ab(a _ b).

4. a3 _ b3 = (a _ b)(a2 _ ab + b2):

5. (a1a2 : : : am)n = an1

an2

: : : an

m m; n 2 N; ai _ 0; i = 1; n.

6. an1an2 : : : anm = an1+n2+:::+nm m; n 2 N; a _ 0.

7. am

an = am?n m; n 2 N; a > 0.

8. (am)n = am_n m; n 2 N; a > 0.

9. a?n =

1

an n 2 N; a > 0.

10. a

m

n = npam m; n 2 N; n _ 2.

11. npam =8<:

a

m

n ; daca m = 2k + 1

jajm

n ; daca m = 2k

k; m; n 2 N; n _ 2.

12. ( npa)m = npam m; n 2 N; n _ 2.

13. npa1a2 : : : am = nqja1j nqja2j : : : nqjamj m; n 2 N; n _ 2.

14. nra

b

=

nqjaj

nqjbj

(b 6= 0): ( npa + b 6= npa + npb; a 6= 0; b 6= 0): n 2 N; n _ 2.

0 Copyrightc1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

1Geometrie plana

Triunghiul

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:

P=AB+BC+CA

Aria triunghiului=(inaltimea x baza)/2, adica:

Atriunghi=(b x h)/2.

In cazul nostru, b=BC, iar h=AD. Deci,

AABC=(BCxAD)/2

Paralelogramul

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:

P=AB + BC + CD + DA. Deoarece laturile opuse ale paralelogramului sunt congruente (egale), perimetrul poate fi calculat astfel P=2(AB + BC).

Aria paralelogramului = baza x inaltimea, adica Aparalelogram=b x h, iar in cazul nostru,

AABCD=DC x AM, pentru ca

DC=b (baza) si AM=h (inaltime).

Dreptunghiul

Dreptunghiul are lungime( not L=AB) si latime (not l=BC).

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:

P=AB+BC+CD+DA sau P=2(L+l)

Aria dreptunghiului = lungimea x latimea

Adreptunghi=L x l. In cazul nostru, AABCD=AB x BC.

Patratul

Patratul este un dreptunghi care are toate laturile egale (congruente), sau lungimea egala cu latimea.

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:

P=AB+BC+CD+DA sau P=4 L, unde L este latura patratului (AB=BC=CD=DA=L).

Aria patratului=latura x latura = latura2, adica, Apatrat=L2.

In cazul nostru, AABCD=AB2.

Trapezul

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:

P=AB + BC + CD + DA.

Aria trapezului = (baza mare + baza mica)xinaltimea/2, adica Atrapez=(B + b) x h/2, iar in cazul nostru

AABCD=(DC + AB) x AM/2, pentru ca

DC=B (baza mare)

AB=b (baza mica), iar

AM=h (inaltimea).

Cercul

Avem OA - raza (not. r)

Lungimea cercului (circumferinta cercului):

Aria cercului (corect ar fi aria discului):

Geometrie in spatiu

Corpuri - Poliedre

Piramida

Vom discuta decat de corpuri regulate, deci si piramida este regulata.

Avem: AB - muchia bazei(not. m)

VA - muchia laterala(not. l)

VO - inaltimea piramidei (not. h)

VM - apotema laterala sau apotema piramidei (not. ap)

OM - apotema bazei (not. ab).

Aria laterala = suma ariilor fetelor laterale

Alat=(Pb x ap)/2.

Aria bazei

Ab=(Pb x ab)/2, unde Pb este perimetrul bazei.

Aria totala = aria bazei + aria laterala

Volumul

Vpir=(Ab x h)/3.

Tetraedrul poate fi considerat o piramida care are ca baza un triunghi, aria si volumul calculandu-se analog.

Paralelipipedul dreptunghic, cubul, prisma

Avem: AB - lungime(not. L)

BC - latime(not. l)

AE - inaltimea sau muchia laterala (not. h)

Aria laterala = suma ariilor fetelor laterale

Alat=Pb x h, unde Pb este perimetrul bazei,

sau

Alat=2(L + l) x h

Aria bazei

Ab=L x l.

Aria totala = aria bazei + aria laterala

Volumul

Vparalelipiped=Ab x h

sau Vparalelipiped=L x l x h.

Paralelipipedul dreptunghic este un caz particular de prisma, iar cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic, in sensul ca este un paralelipiped cu toate laturile congruente. De aceea nu amintim nimic despre ele aici.

Trunchiul de piramida

Avem: AB - Muchia bazei mari

A'B' - Muchia bazei mici

OO' - Inaltime (not. h)

AA' - Muchia laterala

OM - Apotema bazei mari (not. aB)

O'M' - Apotema bazei mici (not. ab)

MM' - Apotema trunchiului de piramida (not. at)

Aria laterala = suma ariilor fetelor laterale

Alat=(PB+Pb)at/2, unde Pb este perimetrul bazei mici, iar PB este perimetrul bazei mari. Ariile bazelor se calculeaza in functie de natura bazelor (triunghi, patrulater etc.), iar la piramida regulata se mai pot calcula si cu ajutorul formulelor:

Ab=Pb x ab.

AB=PB x aB.

Aria totala = aria bazei mari + aria bazei mici + aria laterala

Volumul

Vtrunchi de piramida=