Ecuații și inecuații

Desigur ca rezolvarea ecuatiilor de gradul I este acoperita de programa

claselor V-VIII. Nu este lipsit insa de interes sa consideram unele exemple

care presupun considerarea mai multor cazuri, in functie de valorile unor

parametri.

Ex. 1. Sa se rezolve si sa se discute ecuatiile:

a) 4m2x + 6 = 4m+ 9x

b) 2

1 3 2

2 1 4 1

m x

x x

+ +

=+

-

Solutie. a) Dupa separarea necunoscutei si factorizare, ecuatia se scrie:

(4m2 - 9) x = 4m- 6U(2m+ 3)(2m- 3) x = 2(2m-3)

In cazurile in care coeficientul lui x este nenul, adica pentru

3

2

m

I i? u i y

i ?

R , rezulta solutia unica

( )

( )( )

22 3 2

2 3 2 3 2 3

m

x

m m m

-

= =

+ - +

.

Sa consideram acum situatiile in care coeficientul lui x se anuleaza:

i)

3

2

m= . Ecuatia devine 0=0, adica identitate. Orice x real este o

solutie a ecuatiei.

ii)

3

2

m=- . Ecuatia devine 0=-12, propozitie falsa. In acest caz, ecuatia

nu are solutie (multimea solutiilor sale este vida).

Cele trei cazuri distincte prezentate mai sus pot fi sintetizate in

urmatorul tabel:

3

2

m

I i? u i y

i ?

R

2

2 3

x

m

=

+

solutie unica

3

2

m= xIR

3

2

m=- xIAE

b) Primul aspect care trebuie avut in vedere atunci cand in ecuatie apar

numitori este includerea unor conditii ca acestia sa nu se anuleze. In exemplul

de fata, aceste conditii sunt 2x +1? 0, 4x2 -1? 0 si ele conduc la

1

2

x

I i? u i y

i ?

R .

Dupa amplificarea primei fractii cu 2x -1 si eliminarea numitorilor, ecuatia

devine (m+1)(2x -1) = 3 + 2xU2(m+1) x - 2x = 3+ m+1U2mx = m+ 4 (*)

Daca mIR {0}, rezulta

4

2

m

x

m

+

= . Nu suntem insa siguri ca aceasta

solutie a ecuatiei (*) verifica si ecuatia initiala. Trebuie sa ne asiguram ca nu

se anuleaza numitorii din ecuatia initiala. Procedam prin negarea conditiei si

rezolvam pe rand ecuatiile:

4 1

2 8 2 8 0

2 2

m

m m m

m

+

= ? + = ? = ? IAE

4 1

2 8 2 4 8 2

2 2

m

m m m m

m

+

=- ? + =- ? =- ? =-

Am determinat deci valoarea m = -2 , pentru care solutia ecuatiei (*)

nu verifica ecuatia initiala.

Mai ramane de analizat cazul m = 0 . Ecuatia (*) devine 0=4 si este

imposibila. Sintetizand, rezulta tabelul:

mIR {-2,0} 4

2

m

x

m

+

= solutie unica

mI{-2,0} xIAE

Ex. 2. Sa se rezolve si sa se discute inecuatia 1,

1

x m

m

mx

-

? I

-

R. (G.M.B, 1974)

Observatie. Sa reamintim inainte de toate semnul functiei de gradul intai

f :R (R)R, f (x) = ax + b,a,bIR,a ? 0 .

x

-? b

a

- ?

ax + b, a > 0 - - - - - - - - 0 + + + + + + + +

ax + b, a < 0 + + + + + + + + 0 - - - - - - - -

Solutie. Existenta numitorului impune 1-mx ? 0 . Pentru m ? 0 , aceasta revine

la

1

x

m

I ii uy

i ?

R ; pentru m = 0 , conditia este 1 ? 0 si se verifica pentru orice x

real. Se trece 1 in membrul stang, aducand la acelasi numitor:

( )( ) ( ) 1 1 1

10 0 0

1 1 1

x m x m mx m x

mx mx mx

- - - + + -

- ? U ? U ? *

- - -

Distingem trei cazuri:

a) daca m > -1U m+1> 0, inecuatia revine la

1

0

1

x

mx

-

?

-

b) daca m < -1U m+1< 0 , avem

1

0

1

x

mx

-

?

-

c) pentru m = -1, rezulta 0 ? 0 , adevarata oricare ar fi xIR {-1}

Cazul m = 0 il vom considera separat. Sa tratam pe rand cazurile a) si b) (mai

putin situatia in care m = 0 ). Se observa ca numaratorul se anuleaza in x =1,

iar numitorul in

1

x

m

= . Se impune deci ordonarea acestor puncte pe dreapta

reala. Am putea rezolva inecuatia

1

1

m

> (cu ajutorul unui tabel), dar intuitiv

este mai simplu sa observam ca:

i) daca

1

m 0 0 1

m

< ? < < ;

ii) daca ( ) 1

m 0,1 1

m

I ? > ;

iii) daca

1

m 1 1

m

> ? < ;

iv) daca

1

m 1 1

m

= ? = .

Tinand cont de aceste observatii, rezulta urmatoarele cazuri:

a1) mI(-1,0) . Avem de rezolvat inecuatia

1

0

1

x

mx

-

?

-

, iar

1

0 1

m

< < . Se

alcatuieste tabelul: