1. Obiectivul lucrării
În această lucrare se studiază analiza semnalelor periodice cu ajutorul seriilor Fourier.
2. Introducere teoretică
2.1. Serii Fourier
Relaţia intrare-ieşire a unui sistem liniar invariabil în timp (LIT) este dată de integrala de convoluţie definită prin relaţia
1
unde prin am notat răspunsul la impuls al sistemului, este semnalul de intrare iar este semnalul de ieşire. Dacă intrarea este o exponenţială complexă dată de
2
atunci ieşirea este dată de
3
Se vede că ieşirea este tot o exponenţială complexă cu aceeaşi frecvenţă ca şi intrarea. Amplitudinea ieşirii, însă, este amplitudinea intrării amplificată prin
4
Se observă că această mărime este o funcţie de răspunsul la impuls al sistemului LIT, , şi de frecvenţa semnalului de intrare, De aceea, este deosebit de simplu să se calculeze răspunsul sistemelor LIT la intrări exponenţiale. Este, deci, natural în analiza sistemelor liniare să căutăm metode prin care să dezvoltăm semnalele ca sume de exponenţiale complexe. Seriile Fourier şi transformările Fourier sunt tehnici pentru dezvoltarea semnalelor în funcţie de exponenţiale complexe.
Să considerăm semnalele periodice cu perioada În dezvoltarea în serie Fourier a unui astfel de semnal, baza pentru dezvoltare este mulţimea de semnale
Cu această bază, orice semnal periodic cu perioada poate fi exprimat drept o sumă infinită
5
În această dezvoltare, mărimile notate cu se numesc coeficienţii seriei Fourier a semnalului şi sunt date de
6
Această relaţie se deduce din ortogonalitatea funcţiilor ce alcătuiesc baza. Mărimea α este o constantă arbitrară pe care o alegem astfel încât calculul integralei să se simplifice. Frecvenţa se numeşte frecvenţa fundamentală a semnalului periodic, iar frecvenţa se numeşte armonica a n-a. În cele mai multe dintre cazuri, sau este o bună alegere.
Acest tip de serie Fourier se numeşte serie Fourier exponenţială şi se aplică atât la semnale periodice reale cât şi la cele complexe. În general, coeficienţii seriei Fourier sunt numere complexe chiar dacă este un semnal real.
Dacă este un semnal periodic real, avem
7
Din această egalitate, este evident că
8
Coeficienţii seriei Fourier a unui semnal real au, deci, simetrie Hermite: modulul lor este par iar faza lor este impară. Echivalent, partea lor reală este o funcţie pară de n, iar partea lor imaginară este impară.
O altă formă de serie Fourier, seria Fourier trigonometrică, se poate aplica numai la semnale periodice reale şi se obţine definind
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
