Laboratoare Metalurgie și Siderurgie

— LUCRAREA Nr. 1 —

GRUPAREA DATELOR EXPERIMENTALE ŞI

DETERMINAREA PARAMETRILOR STATISTICI AI PROBELOR (EŞANTIOANELOR)

1) NOŢIUNI TEORETICE

şţţăă

A) Gruparea datelor experimentale şi determinarea frecvenţelor intervalelor de grupare

Pentru probe (eşantioane) cu volum mare (n 50) datele primare se grupează în tabelul repartiţiei experimentale în scopul uşurării determinării parametrilor statistici.

Pentru gruparea datelor experimentale se procedează astfel:

• se determină valoarile minime şi maxime ale variabilei aleatoare X, şi anume Xmax şi Xmin;

• se determină numărul intervalelor de grupare după următoarele relaţii aproximative:

ng = 8 ... 20, direct proporţional cu volumul (n) al probei (eşantionului);

ng = 1 + 3,222 log n (formula Sturgers)

• se determină lungimea intervalelor de grupare (h):

Observatie Numărul şi lungimea grupelor se aproximează in sensul obţinerii unor valori convenabile ale lungimii intervalelor. În acest scop se pot varia puţin şi valorile Xmax şi Xmin.

• se determină caracteristica fiecărei grupe (Xci) - adică jumătatea fiecărui interval;

• se determină frecvenţele intervalelor de grupare şi anume:

fai = ni - frecvenţa absolută a intervalului "i", care reprezintă numărul de valori ale variabilei aleatoare X ce se încadrează în intervalul "i";

fri = - frecvenţa relativă a intervalului "i";

fcai = fcai-1+ fai = fa1+ fa2+...+ fai - frecvenţa cumulată a intervalului "i"; cu fca1 = fa1

fcri = fcri-1 + fri = fr1+ fr2+...+ fai sau fcri = - frecvenţa cumulată relativă a intervalului "i"; cu fcr1 = fr1

Între frecvenţe există relaţiile:

• cu ajutorul acestor frecvenţe se trasează grafic histograme şi poligoane de frecvenţă, care sunt mult mai sugestive pentru reprezentare repartiţiei experimentale decât prezentarea datelor tabelat.

B) Determinarea parametrilor statistici ai probei (eşantionului)

Cei mai importanţi parametrii statistici ce se calculează pentru probe sunt: media aritmetică ( ), dispersia ( s2 ) şi abaterea medie pătratică, care au următoarele formule de definiţie:

(1)

(2)

(3)

Pentru probe (eşantioane) cu volum mic (n < 50) se utilizează pentru calculul parametrilor statistici relaţiile (1), (2) şi (3).

Pentru probe (eşantioane) cu volum mare (n 50) datele primare se grupează în tabelul repartiţiei experimentale şi apoi se va proceda astfel:

• se defineşte o nouă variabilă aleatoare (ui), ce se va calcula pentru fiecare interval de grupare, cu relaţia: unde : Xci - caracteristica fiecărei grupe;

X0 - caracteristica grupei cu frecv. absolută (fa) maximă;

Se observă că variabila ui ia doar valori întregi (ui , pentru intervalul cu frecv. absolută maximă fiind zero (ui=0 ptr. fai=max.), pentru inrtervalele dinaintea acestuia (cu valori mai mici decât el) fiind: -1, -2, -3, ..., iar pentru cele de după acesta (cu valori mai mari decât el) fiind: +1, +2, +3, ...

• se calculează media şi dispersia variabilei u, cu relaţiile:

• pe baza mediei şi dispersiei variabilei u se calculează media, dispersia şi abaterea medie pătratică a variabilei X, cu relaţiile:

2) EXEMPLU

Pentru eşantionul următor de 100 de date referitoare la conţinutul de carbon dintr-o fontă cenuşie să se grupeze datele, să se traseze poligoanele de frecventă pentru frecvenţele absolută şi cumulată relativă şi histogramele pentru frecvenţele cumulată absolută şi relativă şi să se determine parametrii statistici.

3.26 3.25 3.07 3.20 3.25 3.40 3.05 3.00 2.96 3.17

3.22 3.25 3.15 3.25 3.30 3.25 2.97 3.10 3.47 3.10

3.05 3.25 3.18 3.05 3.17 3.27 3.03 3.05 3.15 3.15

3.27 3.25 3.12 3.30 3.40 3.17 3.20 3.17 3.22 3.32

3.05 3.20 3.37 3.20 3.20 3.25 3.25 3.15 3.33 3.10

3.17 3.25 3.05 3.32 3.15 3.27 3.12 3.27 3.50 3.38

3.25 3.17 3.17 3.12 3.27 3.25 3.12 3.30 3.33 3.21

3.15 3.22 3.20 3.32 3.12 3.50 3.27 3.10 3.15 3.31

3.10 3.10 3.17 3.25 3.32 3.02 3.20 3.17 3.30 3.44

3.20 3.45 3.07 3.27 3.17 3.15 3.12 3.42 3.21 3.35

Avem: n = 100 - volumul probei;

xmax = 3,50 şi xmin = 2,96; xmax - xmin = 0,54.

ng = 1 + 3,222log100 = 7,444 8, dar h = 0,54 /8 = 0,0675 nu este convenabil