Pendulul reversibil

Obiectivul experimentului

Obiectivul experimentului este determinarea acceleraţiei gravitaţionale, cunoscând perioada de oscilaţie, fără a cunoaşte însă masa sau momentul de inerţie al acestuia.

Teoria lucrării

Orice solid rigid care este liber să oscileze în jurul unei axe orizontale sub acţiunea propriei sale greutăţi se numeşte pendul fizic, perioada micilor oscilaţii fiind:

T = 2- π- √(I/mgl) (1)

Unde I=momentul de inerţie, l=distanta dintre axa de rotaţie şi centrul de masă.

Lungimea redusă a pendulului se defineşte ca fiind:

λr = I/ml (2)

Reprezentând lungimea unui pendul simplu a cărui perioadă este egală cu perioada pendulului fizic:

T = 2- π- √((λr )/g) (3)

Conform teoremei lui Stainer, momentul de inerţie poate fi exprimat astfel:

I=ICM+ m- l2. (4)

Astfel că, perioada se mai poate scrie şi sub forma:

T = 2- π- √((ICM+ m- l^2)/mgl) (5)

Iar lungimea redusă va fi egală cu :

λr = ICM/ml + l= l1+l. (6)

Unde am notat l1 = ICM/ml. Punctul A’ situat la distanţă faţă de axa de rotaţie A se numeşte centru de oscilaţie. Dacă axa de rotaţie este mutată din A in A’ perioada rămâne aceeaşi. Faţă de axa care trece prin A’ perioada va fi :

T’= 2- π- √(I'/(mgl1 ))= 2- π- √((ICM+ m- 〖l1〗^2)/mgl1) = 2- π- √((l+l1)/g) =T

Considerăm I bara uniformă de lungime L ce oscilează faţă de o axă ce trece prin capul superior A. Se caută o a doua axă , aflată în capătul opus B şi la distanţa x faţă de CM cu aceeaşi perioadă.

Perioada T1 este dată de relaţia (1) pentru prima axă Intorcând bara şi lăsând-o să oscileze în jurul unei axe B aflate la distanţa x faţă de CM, perioada este descrisă astfel:

T = 2- π- √((ICM+ m- x^2)/mgx) = 2- π- √((λr' )/g) (7)

Unde noua lungime redusă este: λr = ICM/(m- x) + x. (8)

Pentru T1=T2=T => x2-g T^2/(4∙π^2 ) x+ ICM/m =0 (9)

Cu rădăcinile x1,2= 1/2- g T^2/(4∙π^2 ) ± 1/2- √(((〖〖gT〗^2/(4∙π^2 ))〗^(2-) 4 ICM/m)) (10)

Conform relaţiei (5), rezultă în final x1= l si x2= ICM/ml În particular, dacă considerăm l= L/2, atunci x1= L/2 , iar x2= L/6 Distanţa dintre cuţite fiind: