Matematici speciale

Calculul coeficientilor de corelatie dintre doua seturi de date se face cu functia corrcoef, care poate fi apelata:

- R=corrcoef(X) returneaza o matrice R care este relatia de corelare a matricei C=cov(X), data de relatia

continand corelarea coeficientilor din intrarea matricei X, ale carei linii sunt marimi obsevate, iar coloanele marimi variabile, cu observatia ca corrcoef(x) este functia de corelatie a zerourilor, ce reprezinta zerourile lui xcof(x,'coef') ce se afla intr-un sir patratic;

- R=corrcoef(x,y) sau R=corrcoef([x,y]), unde x si y sunt vectori coloana;

- ?[R,P]=corrcoef(...) returneaza si matricea P, cu p valori pentru testarea ipotezei de corelare, fiecare valoare p da probabilitatea unei corelatii aleatoare, unde corelatia corecta este zero, astfel ca daca P(i,j) este mic, de

exemplu 0.05, atunci corelatia R(i,j) este semnificativa;

- ?[R,P,RLO,RUP]=corrcoef(...) returneaza si matricele RLO si RUP, cu aceeasi marime ca si R, continand limite mai mici sau mai mari decat 95% din interval pentru fiecare coeficient.

Pentru exemplificare, se prezinta secventa de generare a datelor aleatoare facand corelatia dintre coloana a patra si alte coloane.

x = randn(30,4); % date necorelate;

x(:,4) = sum(x,2); % introduce corelatia;

[r,p] = corrcoef(x) % calculeaza corelatia simpla si valorile p;

[i,j] = find(p<0.05); % gaseste corelatiile semnificative;

ind=[i,j] % afiseaza indicii liniilor si coloanelor.

Cu acestea se obtine:

r =[ 1.0000 -0.3566 0.1929 0.3457

-0.3566 1.0000 -0.1429 0.4461

0.1929 -0.1429 1.0000 0.5183

0.3457 0.4461 0.5183 1.0000];

p =[ 1.0000 0.0531 0.3072 0.0613

0.0531 1.0000 0.4511 0.0135

0.3072 0.4511 1.0000 0.0033

0.0613 0.0135 0.0033 1.0000];

ind= [ 4 2 ; 4 3 ; 2 4 ; 3 4].

Un alt exemplu este dat de gasirea coeficientilor de corelatie dintre functiile:

x=4+2*t, y=4*t, z=2*cos(t), pe intervalul t=[0, 5]. Secventa Matlab este:

t=0:0.1:5; x=4+2*t; y=4*t; z=2*cos(t); Rxy=corrcoef(x,y); Rxz=corrcoef(x,z).

Se obtine Rxy=[ 1 1 ; 1 1], Rxz = [1 -0.6405; -0.6405 1], de unde se observa ca intre x si y este o dependenta liniara, deoarece Rxy(1,2)=R(2,1)=1, iar intre x si z nu este o relatie liniara, deoarece Rxz(1,2)=Rxz(2,1)=-0.6405_1.

2. Poly

Calculul coeficientilor unui polinom, avand date radacinile, se realizeaza cu functia poly, care se apeleaza cu sintaxele:

c=poly(r) - cand returneaza un vector linie, c, continand coeficientii polinomului, in ordinea descrescatoare a puterilor, iar r este un vector ce contine radacinile polinomului;

c=poly(A) - returneaza coeficientii c, in ordinea descrescatoare, ai polinomului caracteristic al matricei A, de tipul n x n .

Calculul coeficientilor unui polinom, la care se cunosc valorile proprii, se realizeaza cu functia polyeig.

Calculul numarului de conditionare, tinand seama de valorile proprii ale unei matrice, se obtine cu functia condeig, care se apeleaza frecvent, [V,D,s] = condeig(A) care este echivalent cu: [V,D] = eig(A); s = condeig(A).

3. Roots

Determinarea radacinilor polinomului se face, in Matlab, cu functia roots, care se apeleaza cu sintaxa,

r = roots(c)

in care c, este vectorul coeficientilor polinomului, iar r, vectorul continand radacinile polinomului. Vectorul coeficientilor polinomului, c, contine coeficientii unui polinom, ordonati in ordine descrescatoare a puterilor. Daca c are n+1 componente, polinomul pe care il reprezinta este de forma:

De exemplu, polinomul:

este reprezentat in MATLAB prin vectorul,

c = [1 -6 -72 -27]

Radacinile acestui polinom sunt restituite intr-un vector coloana, astfel:

r = roots(p)

r = 12.1229

-5.7345

-0.3884.

Daca se cunosc radacinile unui polinom, atunci determinarea coeficientilor se face cu functia Matlab poly, care se apeleaza cu sintaxa c = poly(r), r fiind vectorul, radacini ale polinomului, iar c fiind vectorul, coeficientii polinomului.

Apelata cu sintaxa,

p = poly (A), unde A este o matrice de n x n, ce restituie un vector rand ale carui n+1 elemente sunt coeficientii polinomului caracteristic, det?s ??I -?A?. Coeficientii sunt ordonati in ordinea descrescatoare a puterilor; daca un vector c, are n+1 componente, polinomul pe care il reprezinta este

Matlab afiseaza polinoamele ca vectori rand, continand coeficientii ordonati descrescator, in functie de puteri. Ecuatia caracteristica a matricei:

A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 0 ],