Teorie generală și modul de lucru cu laboratoarele

In acest capitol se studiaza corpurile solide rigide. Astfel de

corputri pot fi privite ca sisteme de particule (puncte materiale),

distantele dintre care raman invariabile in timpul miscarii.

Vom studia rotatia unui corp in jurul unei axe fixe. In acest

caz traiectoriile tuturor punctelor, ce apartin corpului, reprezinta

circumferinte concentrice, ale caror plane sunt perpendiculare pe

axa de rotatie, iar centrele sunt situate pe aceasta axa. Notam cu r1,

r2, r3, ..., rn distantele de la axa de rotatie a punctelor materiale

avand masele m1, m2, m3, ..., mn. La diferite distante punctele

materiale au diferite viteze v1, v2, v3, ..., vn.

Energia cinetica a unei particule i este

W

mv

c

= i i

2

2 .

Se stie ca intre viteza liniara vi a particulei, distanta

acesteea pana la axa de rotatie ri si viteza unghiulara ? exista

relatia

vi = ? ri. (1.1)

Folosind aceasta relatie, obtinem pentru energia cinetica a

particulei expresia

W

m r

c

i i =

?2 2

2 . (1.2)

Deoarece corpul solid este rigid, toate particulele au aceeasi

viteza unghiulara ?. Energia cinetica a corpului Wc este egala cu

suma energiilor tuturor particulelor corpului:

2

Wc = ( m1r1

2 + m2r2

2 +...+ mnrn

2 ) w2

2

. (1.3)

Marimea I = ( m1r1

2 + m2r2

2 +...+ mnrn

2 ) = m r i i

i

n

2

1 =

? (1.4)

se numeste moment de inertie al corpului. Tinand cont de (1.4),

formula pentru energia cinetica de rotatie a corpului poate fi scrisa

sub forma

Wc =

2

I? 2 . (1.5)

Aceasta formula este valabila pentru corpul, ce se roteste in

jurul unei axe fixe. La miscarea plana a corpului, cand punctele

acestuia se deplaseaza in plane paralele, de exemplu, la

rostogolirea unui cilindru pe un plan ori in cazul pendulului lui

Maxwell energia cinetica a corpului se va compune din energia

miscarii de translatie cu viteza egala cu viteza centrului de masa si

din energia de rotatie in jurul axei, ce trece prin centrul de masa al

corpului, adica

Wc =

mv I c c

2 2

2 2

+

?

(1.6)

1.2 Momentul de inertie

Moment de inertie al unei particule in raport cu o axa de

rotatie se numeste marimea egala cu produsul dintre masa ei si

patratul distantei de la axa.

Momentul de inertie al corpului fata de axa este egal cu

suma momentelor de inertie ale tuturor particulelor ce constituie

corpul, adica

I = m r i i

i

n

2

1 =

? (1.6?)

3

Particulele situate mai departe de axa de rotatie aduc o

contributie mai mare in suma (1.4), decat cele situate mai aproape.

Prin urmare, momentul de inertie depinde de distributia masei in

raport cu axa de rotatie. Momentul de inertie al unuia si aceluiasi

corp va fi diferit in functie de pozitia axei de rotatie. Daca, de

exemplu, o tija subtire se roteste in jurul axei sale longitudinale,

atunci momentul ei de inertie va fi neglijabil, deoarece toate

particulele sunt situate foarte aproape de axa de rotatie si deci

marimile r1

2, r2

2, r3

2,..., rn

2 din formula (1.4) sunt foarte mici.

Daca insa tija se roteste in jurul unei linii perpendiculare pe axa ei,

atunci momentul de inertie va fi mult mai mare. Asadar, momentul

de inertie depinde de pozitia axei si de directia ei. Daca axa de

rotatie nu este indicata in mod special, atunci se considera ca se

trece prin centrul de masa al corpului.

Daca corpul este divizat in volume infinit mici (elementare)

avand mase elementare dm, atunci valoarea momentului de inertie

poate fi determinata astfel

I = ? r 2dm, (1.7)

unde integrarea (sumarea ) se face pentru toate elementele de masa

ale corpului.

Folosind formula (1.7), se poate calcula momentele de

inertie ale diferitor corpuri. Pentru un disc plan (sau un cilindru

omogen) de raza R si masa m momentul de inertie relativ de axa ce

trece prin centrul de masa, normal pe planul discului, este

I = mR

1

2

2 . (1.8)

In cazul unui inel momentul de inertie este dat de expresia

I = m R + R

1

2 1

2

2