Legi de compozitie sau operatii algebrice pe o multime

Previzualizare ghid de studiu:

Extras din ghid de studiu:

Fie M o multime nevida.

Definitie. Se numeste lege de compozitie pe M sau operatie algebrica pe M orice functie ?: M x M - M, care asociaza perechii (x, y) ? M x M un nou element ?(x, y) ? M.

Observatie. Proprietatea fundamentala a unei operatii algebrice pe M este urmatoarea: prin compunerea oricaror doua elemente rezultatul obtinut nu paraseste multimea M.

Exemple:

1) Adunarea si inmultirea numerelor sunt legi de compozitie pe multimile N, Z, Q, R, C.

2) Scaderea numerelor nu este o operatie algebrica pe multimea N, dar este o operatie algebrica pe multimea Z.

3) Impartirea numerelor nu este o operatie algebrica pe Q deoarece nu putem imparti la zero, dar este o operatie algebrica pe multimea Q*.

4) Daca M ?- si F = {f : M - M} = multimea tuturor functiilor de la M la M, atunci operatia de compunere a functiilor este o operatie algebrica pe F.

5) Daca M ?- , pe multimea P(M) a partilor lui M, operatiile de reuniune si intersectie sunt operatii algebrice pe P(M).

PROPRIETATI GENERALE ALE OPERATIILOR ALGEBRICE

1. Asociativitatea

Definitie. Daca M ?- si ?: M x M - M este o operatie algebrica pe M, atunci spunem ca operatia ? este asociativa daca (?) x, y, z ? M, avem ? (x, ?(y, z)) = = ?(?(x, y) z).

Observatie. Proprietatea de asociativitate nu arata ca la compunerea a 3 elemente nu conteaza ordinea in care se efectueaza compunerea.

Exemple:

1) Adunarea si inmultirea numerelor sunt asociative.

2) Reuniunea si intersectia sunt legi asociative.

3) Scaderea nu este o operatie asociativa.

4) Impartirea nu este asociativa.

5) Operatia de ridicare la putere nu este asociativa.

6) Compunerea functiilor este asociativa.

7) Adunarea si inmultirea matricelor sunt operatii asociative.

2. Comutativitatea

Definitie. O operatie algebrica ? : M x M - M este comutativa daca ?(x, y) = = ?(y, x), (?) x, y ? M.

Exemple:

a) Operatii comutative: - adunarea si inmultirea numerelor

- adunarea matricelor

- reuniunea si intersectia multimilor

b) Operatii necomutative: - compunerea functiilor

- inmultirea matricelor

- scaderea numerelor

- impartirea numerelor

3. Element neutru

Definitie. O operatie algebrica ? : M x M - M, admite element neutru daca exista e ? M astfel incat ?(e, x) = ?(x, e) = x, (?) x ? M.

Exemple:

1) Zero este element neutru la adunarea numerelor, iar unu este element neutru la inmultirea numerelor.

2) Functia 1A : A - A definita prin 1A(x) = x, (?) x ? A este element neutru pentru compunerea functiilor din F = {f : A - A } deoarece f ? 1A = 1A? f = f, (?) f ? F.

3) Matricea nula este element neutru la adunarea matricelor iar matricea unitate In = este elementul neutru la inmultirea matricelor patratice de dimensiune n.

4) Fie M nevida finita si P(M) multimea partilor lui M. Operatia de reuniune pe P(M) are ca element neutru multimea vida, deoarece X ? ? = ? ?X = X, (?) X ? P(M), iar operatia de intersectie pe P(M) are ca element neutru multimea M, deoarece X ? M = M ? X = X, (?) X ? P(M).

Propozitie. Daca operatia algebrica ? admite element neutru, atunci acesta este unic.

Demonstratie. Presupunem ca operatia ? are elemente neutre e si e'. Avem ?(x, e) = ?(e, x) = x, (?) x (1) si ?(x, e') = ?(e', x) = x, (?) x (2).

Luam in (1) x = e' - ?(e'; e) = ?(e; e') = e'

- e = e'

Luam in (2) x = e - ?(e; e') = ?(e'; e) = e

Download ghid de studiu

Primești ghidul de studiu în câteva minute,
cu sau fără cont

Alte informații:
Tipuri fișiere:
doc
Diacritice:
Da
Nota:
8/10 (1 voturi)
Anul redactarii:
2007
Nr fișiere:
1 fisier
Pagini (total):
43 pagini
Imagini extrase:
43 imagini
Nr cuvinte:
12 885 cuvinte
Nr caractere:
60 565 caractere
Marime:
186.64 KB (arhivat)
Nivel studiu:
Facultate
Tip document:
Ghid de studiu
Domeniu:
Matematica
Data publicare:
05.08.2020
Structură de fișiere:
  • Legi de compozitie sau operatii algebrice pe o multime.doc
Predat:
la facultate
Profesorului:
Profesor
Nota primita:
Nota 10

Ai gasit ceva în neregulă cu acest document?

Te-ar putea interesa și:
In definitia unei legi de compozitie (pe o multime M se ignora atat natura elementelor multimii M...
1.1. Notiunea de spatiu vectorial Fie V o multime nevida. Fie (K,+,o) un corp in raport cu...
NOTIUNI PRELIMINARE ?1. Multimi, relatii binare si functii Multimi Prin multime se intelege o...
ALGEBRA LINIARA CAPITOLUL 1 SPATII VECTORIALE ?1. Spatii vectoriale Spatiul vectorial este...
Consideram sistemul liniar de m ecuatii cu n necunoscute sau scris matriceal Numim o...
Sus!