Legi de compoziție sau operații algebrice pe o mulțime

Fie M o mulțime nevidă.

Definiție. Se numește lege de compoziție pe M sau operație algebrică pe M orice funcție : M x M - M, care asociază perechii (x, y)  M x M un nou element (x, y)  M.

Observație. Proprietatea fundamentală a unei operații algebrice pe M este următoarea: prin compunerea oricăror două elemente rezultatul obținut nu părăsește mulțimea M.

Exemple:

1) Adunarea și înmulțirea numerelor sunt legi de compoziție pe mulțimile N, Z, Q, R, C.

2) Scăderea numerelor nu este o operație algebrică pe mulțimea N, dar este o operație algebrică pe mulțimea Z.

3) Împărțirea numerelor nu este o operație algebrică pe Q deoarece nu putem împărți la zero, dar este o operație algebrică pe mulțimea Q*.

4) Dacă M - și F = {f : M - M} = mulțimea tuturor funcțiilor de la M la M, atunci operația de compunere a funcțiilor este o operație algebrică pe F.

5) Dacă M - , pe mulțimea P(M) a părților lui M, operațiile de reuniune și intersecție sunt operații algebrice pe P(M).

PROPRIETĂȚI GENERALE ALE OPERAȚIILOR ALGEBRICE

1. Asociativitatea

Definiție. Dacă M - și : M x M - M este o operație algebrică pe M, atunci spunem că operația  este asociativă dacă () x, y, z  M, avem  (x, (y, z)) = = ((x, y) z).

Observație. Proprietatea de asociativitate nu arată că la compunerea a 3 elemente nu contează ordinea în care se efectuează compunerea.

Exemple:

1) Adunarea și înmulțirea numerelor sunt asociative.

2) Reuniunea și intersecția sunt legi asociative.

3) Scăderea nu este o operație asociativă.

4) Împărțirea nu este asociativă.

5) Operația de ridicare la putere nu este asociativă.

6) Compunerea funcțiilor este asociativă.

7) Adunarea și înmulțirea matricelor sunt operații asociative.

2. Comutativitatea

Definiție. O operație algebrică  : M x M - M este comutativă dacă (x, y) = = (y, x), () x, y  M.

Exemple:

a) Operații comutative: - adunarea și înmulțirea numerelor

- adunarea matricelor

- reuniunea și intersecția mulțimilor

b) Operații necomutative: - compunerea funcțiilor

- înmulțirea matricelor

- scăderea numerelor

- împărțirea numerelor

3. Element neutru

Definiție. O operație algebrică  : M x M - M, admite element neutru dacă există e  M astfel încât (e, x) = (x, e) = x, () x  M.

Exemple:

1) Zero este element neutru la adunarea numerelor, iar unu este element neutru la înmulțirea numerelor.

2) Funcția 1A : A - A definită prin 1A(x) = x, () x  A este element neutru pentru compunerea funcțiilor din F = {f : A - A } deoarece f  1A = 1A f = f, () f  F.

3) Matricea nulă este element neutru la adunarea matricelor iar matricea unitate In = este elementul neutru la înmulțirea matricelor pătratice de dimensiune n.

4) Fie M nevidă finită și P(M) mulțimea părților lui M. Operația de reuniune pe P(M) are ca element neutru mulțimea vidă, deoarece X   =  X = X, () X  P(M), iar operația de intersecție pe P(M) are ca element neutru mulțimea M, deoarece X  M = M  X = X, () X  P(M).

Propoziție. Dacă operația algebrică  admite element neutru, atunci acesta este unic.

Demonstrație. Presupunem că operația  are elemente neutre e și e’. Avem (x, e) = (e, x) = x, () x (1) și (x, e’) = (e’, x) = x, () x (2).

Luăm în (1) x = e’ - (e’; e) = (e; e’) = e’

- e = e’

Luăm în (2) x = e - (e; e’) = (e’; e) = e