Inele

Structura de inel este o extensie a structurii de grup, obținută prin introducerea unei noi operații algebrice care este compatibilă cu prima lege și are anumite proprietăți.

Definiție. Se numește inel o mulțime nevidă A înzestrată cu două legi de compoziție, prima notată aditiv (+) iar a doua notată multiplicativ (∙) cu proprietățile:

1) (A, +) - grup comutativ

2) Operația ∙ are proprietățile:

2.1. este asociativă: (xy)z = x(yz), () x, y, z  A

2.2. este distributivă la stânga și la dreapta față de prima lege:

(a+b) ∙ c = ac + bc, () a, b, c  A

c ∙ (a+b) = ca + cb, () a, b, c  A.

Notam un inel A înzestrat cu operațiile “+” și “ ∙ ” cu (A, +, ∙).

Definiție. Dacă a doua lege a inelului admite element neutru, notat de obicei cu 1, spunem că inelul A este unitar.

Definiție. Un inel A pentru care legea a doua este comutativă se numește inel comutativ.

Definiție. Un inel care conține un singur element, adică A = {a}, unde a + a = = a ∙ a = a se numește inel nul, iar un inel care admite cel puțin două elemente se numește inel nenul.

Observație. Dacă notăm cu 0 elementul neutru de la prima lege și cu 1 elementul neutru de la legea a doua, atunci în orice inel nenul avem: 1  0.

Definiție. Dacă (A, +, ∙) este un inel unitar, elementele inversabile în raport cu a doua lege se numesc unitățile inelului, iar mulțimea tuturor unităților inelului A se notează U(A).

U(A) = {a  A, a inversabil în A în raport cu operația ∙ }

Observație. 1  U(A) în orice inel nenul și unitar.

Proporziție. Dacă (A, +, ∙) este un inel unitar, atunci (U(A), ∙) este un grup numit grupul elementelor inversabile ale inelului A.

Demonstrație. Fie a, b  U(A) - () a-1, b-1  U(A).

Să demonstrăm că a ∙ b  U(A). (a ∙ b)-1 = b-1 ∙ a-1  U(A) - a ∙ b  U(A).

Evident 1  U(A).

Fie a  U(A) - () a-1  U(A) si (a-1)-1 = a  U(A) - a-1  U(A) - (U(A), ∙) - grup.

Exemple. 1. În inelul (Z, +, ∙) al numerelor întregi singurele elemente inversabile în raport cu operația de înmulțire sunt 1 și -1 - U(Z) = {-1, 1}.

2. Fie Z[i] = {a + ib| a, b  Z}. (Z[i], +, ∙) este un inel comutativ, unitar numit inelul întregilor lui Gauss. Avem U(Z[i]) = {1, -1, i, -i}, deoarece: fie z = a+ib  Z[i] inversabil în Z[i] - () u = c + id  Z[i] astfel încât z ∙ u = 1  (a + ib)(c+ id) = 1 

 ac - bd + i(ad + bc) = 1

- - a(c2 + d2) = c - a = ,

b = .

Dar a, b  Z. Deoarece a, b sunt subunitare pot lua doar valorile -1, 0, 1.

Dacă c = 0 - a = 0, b = -  Z - d =  1 - b =  1.

Dacă d = 0 - b = 0, a =  Z - c =  1 - a =  1 - elementele inversabile sunt  1 și  i.

3. (Mn(R), +, ∙) adică inelul matricelor pătratice de ordin n cu elementele reale, în raport cu operația de adunare și înmulțire a matricelor este un inel necomutativ, unitar, cu unitatea inelului In, adică matricea unitate. Elementele inversabile ale acestui inel sunt matricele inversabile, adică acele matrici care au determinantul nenul.

U(Mn(R)) = {A| det A  0}.