Previzualizare ghid de studiu:

Extras din ghid de studiu:

Structura de inel este o extensie a structurii de grup, obtinuta prin introducerea unei noi operatii algebrice care este compatibila cu prima lege si are anumite proprietati.

Definitie. Se numeste inel o multime nevida A inzestrata cu doua legi de compozitie, prima notata aditiv (+) iar a doua notata multiplicativ (?) cu proprietatile:

1) (A, +) - grup comutativ

2) Operatia ? are proprietatile:

2.1. este asociativa: (xy)z = x(yz), (?) x, y, z ? A

2.2. este distributiva la stanga si la dreapta fata de prima lege:

(a+b) ? c = ac + bc, (?) a, b, c ? A

c ? (a+b) = ca + cb, (?) a, b, c ? A.

Notam un inel A inzestrat cu operatiile "+" si " ? " cu (A, +, ?).

Definitie. Daca a doua lege a inelului admite element neutru, notat de obicei cu 1, spunem ca inelul A este unitar.

Definitie. Un inel A pentru care legea a doua este comutativa se numeste inel comutativ.

Definitie. Un inel care contine un singur element, adica A = {a}, unde a + a = = a ? a = a se numeste inel nul, iar un inel care admite cel putin doua elemente se numeste inel nenul.

Observatie. Daca notam cu 0 elementul neutru de la prima lege si cu 1 elementul neutru de la legea a doua, atunci in orice inel nenul avem: 1 ? 0.

Definitie. Daca (A, +, ?) este un inel unitar, elementele inversabile in raport cu a doua lege se numesc unitatile inelului, iar multimea tuturor unitatilor inelului A se noteaza U(A).

U(A) = {a ? A, a inversabil in A in raport cu operatia ? }

Observatie. 1 ? U(A) in orice inel nenul si unitar.

Proporzitie. Daca (A, +, ?) este un inel unitar, atunci (U(A), ?) este un grup numit grupul elementelor inversabile ale inelului A.

Demonstratie. Fie a, b ? U(A) - (?) a-1, b-1 ? U(A).

Sa demonstram ca a ? b ? U(A). (a ? b)-1 = b-1 ? a-1 ? U(A) - a ? b ? U(A).

Evident 1 ? U(A).

Fie a ? U(A) - (?) a-1 ? U(A) si (a-1)-1 = a ? U(A) - a-1 ? U(A) - (U(A), ?) - grup.

Exemple. 1. In inelul (Z, +, ?) al numerelor intregi singurele elemente inversabile in raport cu operatia de inmultire sunt 1 si -1 - U(Z) = {-1, 1}.

2. Fie Z[i] = {a + ib| a, b ? Z}. (Z[i], +, ?) este un inel comutativ, unitar numit inelul intregilor lui Gauss. Avem U(Z[i]) = {1, -1, i, -i}, deoarece: fie z = a+ib ? Z[i] inversabil in Z[i] - (?) u = c + id ? Z[i] astfel incat z ? u = 1 ? (a + ib)(c+ id) = 1 ?

? ac - bd + i(ad + bc) = 1

- - a(c2 + d2) = c - a = ,

b = .

Dar a, b ? Z. Deoarece a, b sunt subunitare pot lua doar valorile -1, 0, 1.

Daca c = 0 - a = 0, b = - ? Z - d = ? 1 - b = ? 1.

Daca d = 0 - b = 0, a = ? Z - c = ? 1 - a = ? 1 - elementele inversabile sunt ? 1 si ? i.

3. (Mn(R), +, ?) adica inelul matricelor patratice de ordin n cu elementele reale, in raport cu operatia de adunare si inmultire a matricelor este un inel necomutativ, unitar, cu unitatea inelului In, adica matricea unitate. Elementele inversabile ale acestui inel sunt matricele inversabile, adica acele matrici care au determinantul nenul.

U(Mn(R)) = {A| det A ? 0}.

Download ghid de studiu

Primești ghidul de studiu în câteva minute,
cu sau fără cont

Alte informații:
Tipuri fișiere:
doc
Diacritice:
Da
Nota:
8/10 (1 voturi)
Anul redactarii:
2007
Nr fișiere:
1 fisier
Pagini (total):
26 pagini
Imagini extrase:
26 imagini
Nr cuvinte:
8 570 cuvinte
Nr caractere:
41 224 caractere
Marime:
136.05 KB (arhivat)
Nivel studiu:
Facultate
Tip document:
Ghid de studiu
Domeniu:
Matematica
Data publicare:
05.08.2020
Structură de fișiere:
  • Inele.DOC
Predat:
la facultate
Profesorului:
Profesor
Nota primita:
Nota 10

Ai gasit ceva în neregulă cu acest document?

Te-ar putea interesa și:
Vom stabili in acest paragraf cateva rezultate cu privire la inelele topologice simple...
Un triplet (R, +, *), unde R este o multime nevida iar,, + si,, * sunt doua legi de compozitie pe...
Corpurile joaca in rol important in rezolvarea problemelor legate de multimi inzestrate cu doua...
Definitie: Se numeste inel o multime A, nevida inzestrata cu doua legi de compozitie: +: AxA (A...
Introducere Seriile formale si functiile generatoare reprezinta una dintre notiunile de care te...
Sus!