Matrici

Definitie. Se numeste matrice cu m linii si n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii si n coloane

ale carui elemente sunt numere complexe.

1.1 . Tabel matriceal. Multimi de matrice.

Sa consideram urmatorul enunt din domeniul economiei.

,,Un depozit de materiale se aprovizioneaza esalonat pe o perioada de 4 luni cu un anumit produs dupa urmatorul plan:

- in prima luna se aprovizioneaza cu 100 de bucati, la pretul unitar de 3 000 unitati monetare (u.m.).

- In a doua luna se aprovizioneaza cu 120 bucati la pretul unitar de 3 500 u.m.

- In luna a treia primeste cu 10 bucati mai putin decat in luna precedenenta, cu pretul pe unitate de produs de 3 200 u.m., iar in luna a patra comanda o cantitate dubla fata de prima luna platind 3 200 u.m. pe unitatea de produs."

Pentru tinerea unei evidente cat mai clare, aceste date pot fi ordonate si clasate in diverse moduri, astfel incat obtinerea unor informatii legate de acest proces de aprovizionare sa se realizeze cat mai eficient.

Astfel, datele de mai sus pot fi grupate intr-un tabel de forma:

Luna 1 2 3 4

Cantitate 100 120 110 200

Pret unitar 3 000 3 500 3 200 3 200

Intr-un mod mai simplificat, aceste date pot fi reorganizate intr-un tabel de forma:

sau

Un astfel de tabel se numeste tabel matriceal.

Primul tabel matriceal este format din 3 linii si 4 coloane (este de tipul 3 x 4), iar al doilea tabel matriceal este format din 2 linii si 4 coloane (este de tipul 2 x 4). Daca se ia in considerare numai linia care contine cantitatile achiyitionate lunar, se obtine un tabel de forma (100 120 110 200) numit tabel matriceal linie.

Daca se considera numai datele care caracterizeaza fenomenul in luna a treia se obtine un tabel de forma sau , numit tabel matriceal coloana.

Asadar, prin organizarea unor date legate de un fenomen in asemenea tabele matriceale, se stabileste de fapt o corespondenta intre pozitia ocupata de un numar din tabel si valoarea acestuia.

Pozitia numarului din tabelul matriceal este usor de identificat printr-o pereche ordonata de numere naturale (i, j) care arata ca numarul se aflp pe linia i si pe coloana j a tabelului.

Generalizarea unei astfel de corespondente, facandu-se abstractie de natura materiala a datelor folosite, conduce la introducerea unei noi notiuni matematice.

Cazuri particulare

1) O matrice de tipul (deci cu o linie si n coloane) se numeste matrice linie si are forma

.

2) O matrice de tipul (cu m linii si o coloana) se numeste matrice coloana si are forma

.

3) O matrice de tip se numeste nula (zero) daca toate elementele ei sunt zero. Se noteaza cu O

.

4) Daca numarul de linii este egal cu numarul de coloane, atunci matricea se numeste patratica.

.

Sistemul de elemente reprezinta diagonala principala a matricii A, iar suma acestor elemente se numeste urma matricii A notata Tr(A) . Sistemul de elemente reprezinta diagonala secundara a matricii A.

Suma elementelor de pe diagonala principala a matricei A se numeste urma matricei A si se noteaya Tr (A).

Multimea acestor matrici se noteaza . Printre aceste matrici una este foarte importanta aceasta fiind

si se numeste matricea unitate (pe diagonala principala are toate elementele egale cu 1, iar in rest sunt egale cu 0).

Egalitatea matricelor

Fie matricele A, B , A= ( ) , B= .

Definitie.

o Matricele A si B se numesc matrice egale, daca = , pentru fiecare i {1,2,...,m}, j {1,2,...,n}.

Problema rezolvata

Sa se determine a,b,x,y,m R astfel incat sa aiba loc egalitatea de matrice A=B, pentru , .

Solutie

Din egalitatea a =b rezulta Aplicand egalitatea a doua numere complexe se obtine , deci a {-1,1}, m=5.

Din egalitatea a =b , rezulta 2b+1=7 si b=3 . Egalitatile a =b si a =b conduc la relatiile Se obtine x=2 si y=3.

Observatii

1. Folosind proprietatile relatiei de egalitate pe multimea C, relatia de egalitate pe multimea are urmatoarele proprietati:

- Daca A=A, A (proprietatea de reflexivitate).

- Daca A=B, atunci B=A, A, B (proprietatea de simetrie).

- Daca A=B si B=c, atunci A=C, A,B,C (proprietatea de tranzitivitate).

2. Daca matricele A,B snu sunt egale, se scrie A B.

1. Marius Burtea si Georgeta Burtea, Manual de Matematica, clasa a XI-a, Editura Carminis.

2. C. Nita, C. Nastasescu, M. Brandiburu, D. Joita, Culegere de probleme pentru liceu - algebra - clasele IX - XII (editie noua revizuita si adaugita), Editura Rotech Pro.

3. Carmen Angelescu, Nicolae Baciu, Catalin Zirna, Ismet Omer, Nicolae Buzduga, Ghid de recapitulare pentru BACALAUREAT 2009 - MATEMATICA M1+M2 , Editura Sigma.

4. Materia predata la ora, de catre profesorul Oanea Calin.

5. Caietul de notite, dar si de teme acasa.

6. Internet.