Locuri geometrice

Def.: Locul geometric este multimea de puncte care au aceeasi proprietate.

Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculara pe segment dusa prin mijlocul segmentului. Existenta si unicitatea mediatoarea rezulta din faptul ca mijlocul unui segment exista si este unic, perpendiculara printr-un punct al dreptei pe dreapta exista si este unica.

Teorema 1: Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de capetele segmentului.

Dem.: Se considera (AB), , si M un punct de pe mediatoarea segmentului (AB) (Fig.1.1). Daca , afirmatia este evidenta. Daca , (C.C.) si rezulta , deci

Teorema 2: Orice punct egal departat de capetele unui segment apartine mediatoarei segmentului.

Dem.: Se considera (AB) si M un punct astfel incat (Fig.1.2). Daca , atunci M este mijlocul segmentului (AB) si apartine mediatoarei. Daca , fie O mijlocul segmentului (AB). (LLL). Deci Deoarece cele doua unghiuri sunt si suplementare, rezulta ca , ceea ce inseamna ca MO este mediatoarea segmentului (AB).

Asadar mediatoarea unui segment este locul geometric al punctelor egal departate de capetele segmentului.

Un alt exemplu de loc geometric este bisectoarea unui unghi.

Bisectoarea unui unghi este dreapta care trece prin intersectia a doua drepte diferite, impartind unghiul format de cele doua drepte in doua unghiuri congruente.

Teorema 3: Bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor din interiorul unghiului egal departate de laturile unghiului, reunit cu varful unghiului.

Dem.: a) Se va arata ca orice punct de pe bisectoare este egal departat de laturile unghiului (Fig.1.3). Fie , O varful unghiului, s bisectoarea lui si Se noteaza cu A si B picioarele perpendicularelor din M pe h si respectiv k. (IU)

b) Se va arata ca orice punct M egal departat de laturile unghiului si se afla in interiorul unghiului, apartine bisectoarei. Se noteaza cu A si B picioarele perpendicularelor duse din M pe laturile unghiului. , (OM) latura comuna si

(IC) OM bisectoare.

Pe baza proprietatilor de loc geometric ale bisectoarelor si mediatoarelor se pot demonstra urmatoarele doua teoreme referitoare la concurenta bisectoarelor si mediatoarelor unui triunghi.

Teorema 4: Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente.

Dem.: Din teorema transversalei rezulta ca bisectoarele unghiurilor A si B intersecteaza pe (BC) si (AC) in cate un punct D, respectiv E (Fig.1.4). Din aceeasi teorema rezulta ca exista puntul I, Asadar Din proprietatea punctelor bisectoarei unui unghi rezulta d(I,BC) = d(I,AB), d(I,AB) = d(I,AC) si deci d(I,BC) = d(I,AC) si pentru ca rezulta ca [CI este bisectoarea unghiului C.

Teorema 5: Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente.

Dem.: Fie un triunghi ABC, mediatoarele segmentelor (AB) respectiv (BC), (Fig.1.5). Din proprietatea punctelor mediatoarei , deci O apartine mediatoarei segmentului (AC).