Exemple de curbe în spațiu - Matlab

Fie un parametru ????∈???? și funcțiile continue ????, ????, ????:????→????. Aceste

funcții ne definesc funcția vectorială de argument scalar, continuă ( ????) ̅ :????→????^3, ???? ̅(????)=????(????) ???? ̅+????(????) ???? ̅+????(????) ???? ̅.

Mulțimea ????={???? ̅(????)/????∈????} se numește arc continuu de curbă.

Astfel o curbă se dă printr-o funcție vectorială ???? ̅= ???? ̅(????), ????∈????. Arcul de curbă continuă ???? ̅= ???? ̅(????), ????∈???? se numește arc simplu dacă ???? ̅ este o bijecție intre ???? și ????????(????) și ???? ̅^(−1) este de asemenea continuă.

Ne vom ocupa de funcții ( ????) ̅ :????→????^3, ???? ̅(????)=????(????) ???? ̅+????(????) ???? ̅+????(????) ???? ̅

care reprezintă arce simple pe porțiuni. Studiul acesor curbe se reduce de fapt la studiul arcelor simple ( ????) ̅ :????→????^3, I=[????,????].

Dacă un arc se dă prin ( ????) ̅ :????→????^3, ???? ̅(????)=????(????) ???? ̅+????(????) ???? ̅+????(????) ???? ̅ atunci spunem că s-a dat curba prin ecuația sa vectorială. Ea are forma echivalentă :

{█(????=????(????)@????=????(????)@????=????(????)) , ????∈????┤

care se numește reprezentarea parametrică a unei curbe în ????^3.

O altă modalitate de a defini o curbă în spațiu este ca intersecția a două suprafețe

sub formă carteziană explicită :

{█(????=????(????,????)@????=????(????,????)), (????,????)∈????⊆????^2 ┤

Sau sub forma carteziană implicită :

{█(????(????,????,????)=0@????(????,????,????)=0) ,┤ (????,????,????)∈????⊆????^3

Elicea circulară este curba în spațiu descrisă de un punct ce se deplasează pe un cilindru circular astfel încât deplasarea de-a lungul axei de rotație a cilindrului să fie proporțională cu unghiul de rotație în jurul aceleiași axe.

Ecuațiile parametrice ale curbei :

{█(????=〖a cos〗⁡????????@????=???? sin⁡????????@????=???????? ) ┤

Constanta a controlează amplitudinea lui x și y , valoarea lui b controlează rata la care z (înălțimea) se schimbă în raport cu timpul, iar ???? controlează rata la care particula înconjoară originea

Vom considera ????=2, ????=0.1, ????=2 și 0≤????≤12????.

Pentru vizualizarea în Matlab 3D și efectelor de animație a curbei date de ecuațiile parametrice anterioare vom scrie comenzile:

>> a=2;

>> b=0.1;

>> w=2;

>> t=linspace(0,12*pi,500);

>> x=a*cos(w*t);

>> y=a*sin(w*t);

>> z=b*t;

>> comet3(x,y,z);

>> plot3(x,y,z);

>> xlabel('x-axis');

>> ylabel('y-axis');

>> zlabel('z-axis');

>> title('Elicea circulara')

>> grid on

Geometrie computațională cu aplicații în Matlab”, Valer Nimineț, Carmen Violeta Muraru, Editura Pim, 2009;

“Modeling of curves and surfaces with Matlab”, Vladimir Rovensky, Springer, 2010;

http://msenux.redwoods.edu/Math4Textbook/