Ecuații diferențiale ordinare de ordinul întâi integrabile prin cuadraturi

O ecuatie diferentiala ordinara de ordinul intai sub forma normala se prezinta printr-o egalitate de forma:

, (1)

unde este functia necunoscuta (functie reala de o variabila reala x, presupusa a fi definita si derivabila - cu derivata (ordinara) de ordinul intai continua - pe un interval , ), iar f este o functie reala continua de doua variabile reale: Cele mai simple tipuri de astfel de ecuatii se pot rezolva prin reducere la calculul unor primitive (integrare = cuadratura). Functia y(x) se determina astfel depinzand de o constanta arbitrara C (provenind de la multimea primitivelor), obtinandu-se astfel o multime de solutii. Aceasta multime de functii y(x) constituie solutia generala a ecuatiei diferentiale (1). In cele ce urmeaza vor fi prezentate cateva tipuri de ecuatii diferentiale ordinare de ordinul intai.

I. Ecuatii diferentiale de forma

Solutia generala a unei astfel de ecuatii se obtine prin integrare: (2)

Exemplu.

Rezolvare: , unde C este o constanta arbitrara reala. Pentru scrierea mai compacta a solutiei generale, se poate inlocui , unde este o alta constanta arbitrara. Atunci

Tema:

Raspuns:

II. Ecuatii diferentiale cu variabile separabile

Aceste ecuatii se prezinta sub una din urmatoarele forme:

(3)

sau (4)

unde

Se separa variabilele: , in conditiile si apoi se obtine solutia generala a ecuatiei prin integrare in ambii membri (este suficient a se considera o singura constanta C, intr-un singur membru). Se va analiza daca din sau se obtin alte solutii ale ecuatiei date (solutii singulare ale ecuatiei diferentiale, adica solutii care nu se pot obtine din solutia generala pentru nici o valoare a constantei C).

Exemplul 1.

Rezolvare: Ecuatia se scrie: , apoi Se separa variabilele: , pentru Integrand rezulta solutia generala a ecuatiei:

, unde C este o constanta arbitrara reala. Aceasta din urma egalitate defineste functia implicit, de aceea se spune ca generala a ecuatiei este data sub forma implicita. Se observa ca este solutie singulara a ecuatiei date ( , deci verifica ecuatia si nu este inclusa in solutia generala, neobtinandu-se pentru nici o valoare a constantei C).

Se observa ca este o valoare particulara a variabilei independente x din ecuatia data, deci nu este solutie (este solutie a ecuatiei adusa la acelasi numitor, care nu este echivalenta cu ecuatia data).