Notiunea de determinant a fost introdusa de Leibnitz cu scopul de a formula conditii asupra coeficientilor unui sistem de ecuatii liniare astfel incat acesta sa admita solutii si sa obtina o descriere convenabila a acestora in caz ca exista.
Determinanti de ordin 2
Sa consideram un sistem (S) de doua ecuatii liniare cu doua necunoscute x1 si x2 si cu coeficienti numerici:
(S) ,
unde aij , bi ? C.Matricea A= ? M2(R) se numeste matricea sistemului (S)
iar numerele b1 , b2 termenii liberi ai sistemului (S).
Numarul d=a11a22-a21a12 poarta numele de determinant al matricei A = si
pentru acesta se va folosi in continuare una din notatiile detA , |A| sau
Din definitia data se observa ca determinantul unei matrice patrate A de ordin 2 este egal cu diferenta dintre produsul elementelor de pe diagonala principala si cel al elementelor de pe diagonala secundara.
Teorema:Sistemul liniar cu coeficienti numerici (S) are solutie
unica daca detA ? 0 , unde A este matricea sistemului (S).
Daca detA ? 0 , atunci unica solutie a sistemului (S) este x1 = , x2 = ,
unde D1 = , D2 = (regula lui Cramer).
Demonstratie:
Daca d = detA ? 0 atunci (S') are solutie unica x1 = d1/d ,x2=d2/d. Cum orice
solutie a lui (S) este si solutie pentru (S') rezulta ca (S) are cel mult o solutie.
Cum a11 + a12 = (a11 (b1a22 - b2a12 ) + a12 (a11b2 - a21b1)) = =b1 si
analog a21 + a22 = b2 rezulta ca sistemul (S) are unica solutie x1 = , x2 =
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
